Prof:Marcu Ştefan Florin

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se afle soluţiile întregi ale inecuaţiei: \({{x}^{2}}-16\le 0\).

(5p) 2. Se consideră funcţia: \(f:R\to R\) , \(f(x)=2x+1\) .

            Calculaţi suma : \(f(1)+f(2)+...+f(2012)\) .

(5p) 3. Să se rezolve în R , ecuaţia : \({{2}^{2x+4}}={{4}^{3x-1}}\).

(5p) 4. Să se calculeze probabilitatea ca , alegând un element al mulţimii { 4,5,6,7,8 ) , acesta să verifice    inegalitatea : \({{2}^{n}}+n!>2012\) .

(5p) 5. Să se determine valorile numărului real a , astfel încât distanţa dintre punctele A(2,3) şi B(2,a)  să fie egală cu 1 .

(5p) 6. Triunghiul ABC , are laturile AB=AC=4 şi m(\(\measuredangle BAC\))=\({{135}^{\circ }}\) . Calculaţi aria triunghiului ABC

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. În reperul cartezian XOY , se consideră punctele : \({{A}_{n}}(2n,2n+1),n\in N\) .\(\)

(5p) a) Aflaţi ecuaţia dreptei \({{A}_{1}}{{A}_{2}}\) .

(5p) b) Să se demonstreze că punctele \({{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}}\) sunt coliniare .

(5p) c) Să se arate că, aria triunghiului \(O{{A}_{n}}{{A}_{n+1}}\) este egală cu 1 , \((\forall )n\in N\) .

2. Se consideră inelul claselor de resturi modulo 7 , \({{Z}_{7}}=\{\overbrace{0}^{\hat{\ }},\overbrace{1}^{\hat{\ }},...\overbrace{6}^{\hat{\ }}\}\)

(5p) a) Calculaţi suma : \(S=\overbrace{1}^{\hat{\ }}+\overbrace{2}^{\hat{\ }}+...+\overbrace{6}^{\hat{\ }}\)

(5p) b) Să se calculeze produsul tuturor elementelor inversabile din inelul \({{Z}_{7}}\) .

(5p) c) Să se rezolve in \({{Z}_{7}}\) , sistemul de ecuaţii: \(\left\{ \begin{matrix} x+\overbrace{2}^{\hat{\ }}y=\overbrace{3}^{\hat{\ }} \\ \overbrace{3}^{\hat{\ }}x+\overbrace{4}^{\hat{\ }}y=\overbrace{0}^{\hat{\ }} \\ \end{matrix} \right.\)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1.Se consideră funcţia: \(f:R\to R\) , \(f(x)=x+{{e}^{x}}+1\) .

(5p) a) Calculaţi : \(~\underbrace{\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}\) .

(5p) b) Arătaţi că f este strict crescătoare pe R .

(5p) c) Să se arate că există un singur număr real \(c\in (2011,2012)\) , astfel încât \({{f}^{'}}(c)={{e}^{2012}}-{{e}^{2011}}+1\) .

2. Se consideră şirul : \({{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{n}}-1}{x+1}}dx,n\in N\) .

(5p) a) Calculaţi \({{I}_{2}}\) .

(5p) b) Demonstraţi că  şirul \({{({{I}_{n}})}_{n\in N}}\) este strict descrescător .

(5p) c) Să se arate că: \({{I}_{n+2}}-{{I}_{n}}=-\frac{1}{(n+1)(n+2)},(\forall )n\in N\) .