Varianta 46
Prof: Necula Gabriel
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Să se determine al nouălea termen al şirului 11, 27, 43, 59, ... .
(5p) 2. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei log3(x+8)=2+log3x.
(5p) 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor întregi inecuaţia (x−2)(x−3)<11(1−x)+2.
(5p) 4. Să se rezolve ecuaţia (n+1)!(n−1)!+n!(n−2)!−2(n−1)!(n−3)!=14, n∈N, n≥3.
(5p) 5. Să se determine a∈R ştiind că vectorii →u=−5→i+a→j şi →v=4→i+(a+1)→j sunt perpendiculari.
(5p) 6. Se consideră triunghiulABC cu AB=1,AC=4 şi BC=√17.Să se calculeze sinC.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
- Se consideră mulţimea G={ X(a1,a2,b1,b2)=(a1b1a1b2a2b1a2b2)| a1,a2,b1,b2∈Z }⊂M2(Z).
(5p) a) Să se verifice că A=(2−14−2)∈G.
(5p) b) Să se calculeze determinantul matriceiB=X(3, 1, −1, 3)∈G.
(5p) c) Să se arate că (A+B)4=(AB)2+(BA)2.
- Se consideră polinomul f=X(X2−X−3)−(X−4)∈R[X]. Rădăcinile polinomului sunt x1, x2, x3.
(5p) a) Să se calculeze x1x2x3.
(5p) b) Să se determine câtul împărţirii polinomului f la polinomul g=X−2.
(5p) c) Să se arate că x20111+x20112+x20113=1.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
- Se consideră funcţia f:R→R,f(x)={2x−1, x≤1xlnx+1, x>1.(5p) a) Să se studieze continuitatea funcţiei f în punctul x0=1.
(5p) b) Să se calculeze f′s(−1)+f′d(1).
(5p) c) Să se demonstreze că funcţia f este crescătoare pe ( 1, +∞ ).
- Se consideră funcţiile f,g:(0,+∞)→R, f(x)=(x+1)2+lnx−1 şi g(x)=(x+1)2+x2x.
(5p) a) Să se arate că funcţia f este o primitivă a funcţiei g .
(5p) b) Să se calculeze e∫1 g(x)x dx.
(5p) c) Să se demonstreze că 3≤2∫1f(x) dx≤8+ln2.