Varianta 46

Prof: Necula Gabriel

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se determine al nouălea termen al şirului 11, 27, 43, 59, ... .

(5p) 2. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei   \({{\log }_{3}}\left( x+8 \right)=2+{{\log }_{3}}x\).
(5p) 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor întregi inecuaţia \(\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)<\,\,11\left( 1-x \right)+2\). 

(5p) 4. Să se rezolve ecuaţia  \(\frac{\left( n+1 \right)!}{\left( n-1 \right)!}+\frac{n!}{\left( n-2 \right)!}-2\frac{\left( n-1 \right)!}{\left( n-3 \right)!}=14\), \(n\in \mathbb{N},\ n\ge 3\).

(5p) 5. Să se determine \(a\in \mathbb{R}\) ştiind că vectorii \(\vec{u}=-5\,\vec{i}+a\,\vec{j}\) şi  \(\vec{v}=4\,\vec{i}+\left( a+1 \right)\vec{j}\) sunt perpendiculari.

(5p) 6. Se consideră triunghiul\(ABC\) cu \(AB=1\),\(AC=4\) şi \(BC=\sqrt{17}\).Să se calculeze \(\sin C\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră mulţimea \(G=\left\{ \ X\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{b}_{1}},{{b}_{2}} \right)=\left( \begin{matrix} {{a}_{1}}{{b}_{1}} & {{a}_{1}}{{b}_{2}} \\ {{a}_{2}}{{b}_{1}} & {{a}_{2}}{{b}_{2}} \\ \end{matrix} \right)\left| \ {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{b}_{1}},{{b}_{2}}\in \mathbb{Z}\ \right. \right\}\)\(\subset {{M}_{2}}\left( \mathbb{Z} \right)\).

(5p) a) Să se verifice că \(A=\left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 4 & -2 \\ \end{matrix} \right)\in G\).

(5p) b) Să se calculeze determinantul matricei\(B=X\left( \,3\,,\ 1\,,\ -1\,,\ 3\, \right)\in G\).

(5p) c) Să se arate că \({{\left( \,A+B \right)}^{4}}={{\left( AB \right)}^{2}}+{{\left( BA \right)}^{2}}\).

2. Se consideră polinomul \(f=X\left( {{X}^{2}}-X-3 \right)-\left( X-4 \right)\in \mathbb{R}\left[ X \right]\). Rădăcinile polinomului sunt \({{x}_{1}}\,,\,\ {{x}_{2}}\,,\ {{x}_{3}}\).

(5p) a) Să se calculeze  \({{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}\).

(5p) b) Să se determine câtul împărţirii polinomului  f  la polinomul \(g=X-2\).

(5p) c) Să se arate că  \(x_{1}^{2011}+x_{2}^{2011}+x_{3}^{2011}=1\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\),\(f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} 2x-1,\ x\le 1 \\ x\ln x+1,\ x>1 \\ \end{matrix} \right.\).(5p) a) Să se studieze continuitatea funcţiei f în punctul \({{x}_{0}}=1\).

(5p) b) Să se calculeze  \(f_{s}^{'}\left( -1 \right)+f_{d}^{'}\left( 1 \right)\).

(5p) c) Să se demonstreze că funcţia  f  este crescătoare pe \(\left( \ 1,\ +\infty \  \right)\).

2. Se consideră funcţiile \(f,g:\left( 0,+\infty \right)\to \mathbb{R}\), \(f\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}+\ln x-1\) şi \(g\left( x \right)=\frac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{x}^{2}}}{x}\).

(5p) a) Să se arate că funcţia  f  este o primitivă a funcţiei g .

(5p) b) Să se calculeze  \(\int\limits_{1}^{e}{\ \frac{g\left( x \right)}{x}}\ dx\).

(5p) c) Să se demonstreze că  \(3\le \int\limits_{1}^{2}{f}\left( x \right)\ dx\le 8+\ln 2\).