Prof: Necula Gabriel

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\),\(f\left( x \right)=2x+3\). Să se calculeze \(f\left( -4 \right)+f\left( -3 \right)+...+f\left( 1 \right)\). 

(5p) 2. Fie funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\ ,f\left( x \right)=5-7x\). Să se determine soluţiile reale ale inecuaţiei \(f\left( x \right)-2\ge 2x\).

(5p) 3. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei  \(5\cdot {{3}^{x+\,1}}=432-{{3}^{x}}\).
(5p) 4. Să se calculeze \(C_{2011}^{2009}-C_{2012}^{2010}+A_{2011}^{1}\).

(5p) 5. Să se arate că dreptele de ecuaţie  \(2x-3y+1=0\), \(x+3y+5=0\)şi \(3x-2y+4=0\) sunt concurente.

(5p) 6. Să se calculeze \({{\sin }^{2}}{{165}^{\circ }}+{{\cos }^{2}}{{15}^{\circ }}\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. În mulţimea \({{M}_{3}}\left( \mathbb{R} \right)\) se consideră matricele \(A\left( x \right)=\left( \begin{matrix} x & 1 & 2 \\ 2 & x & 1 \\ 1 & 2 & x \\ \end{matrix} \right)\) şi \({{I}_{3}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\).

(5p) a) Să se calculeze \(\det A\left( 0 \right)\).

(5p) b) Să se verifice că  \({{\left( A\left( 0 \right) \right)}^{3}}=6A\left( 0 \right)+9{{I}_{3}}\).

(5p) c) Să se determine \(x\in \mathbb{R}\) pentru care matricea  \(A\left( x \right)\) este inversabilă.

2. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie \(x*y=x+y+a,\ a\in \mathbb{R}\).

(5p) a) Să se determine \(a\in \mathbb{R}\) pentru care \(19*3=27\).

(5p) b) Pentru \(a=5\) să se arate că legea de compoziţie  „\(*\)” este asociativă.

(5p) c) Pentru \(a=5\) să se calculeze \(\left( -2012 \right)*\left( -2011 \right)*...*2011*2012\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\),\(f\left( x \right)=\frac{x+1}{{{e}^{x}}}\).

(5p) a) Să se arate că  \(f\left( x \right)+f{{\,}^{'}}\left( x \right)-{{e}^{-x}}=0\), pentru orice \(x\in \mathbb{R}\).

(5p) b) Să se calculeze \(\underset{\begin{smallmatrix} x\to -2 \\ x<-2 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( -2 \right)}{x+2}\).

(5p) c) Să se determine intervalele de convexitate şi intervalele de concavitate ale funcţiei \(f\).

2. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\),\(f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} x+1,\ x\le 0 \\ {{x}^{2}}-x+1,\ x>0 \\ \end{matrix} \right.\).

(5p) a) Să se calculeze \(\int{f\left( x \right)}\,dx\),\(x\in \left( 0,+\infty  \right)\).

(5p) b) Să se determine \(a\in \left( 0,+\infty  \right)\) astfel încât \(\int\limits_{-1}^{a}{f\left( x \right)}\ dx=\frac{{{a}^{3}}+3}{3}\).

(5p) c) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox, a graficului funcţiei

\(g:\left[ 1,2 \right]\to \mathbb{R}\), \(g\left( x \right)=f\left( x \right)+x\).