Varianta  48

Prof: Necula Gabriel

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se calculeze \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\) , ştiind că numerele \(a\)şi \(b\) au diferenţa egală cu 5 şi produsul egal cu 6.

(5p) 2. Fie funcţiile \(f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\ ,\,f\left( x \right)={{x}^{2}}+2x-3\) şi \(g\left( x \right)=x+3\). Să se calculeze coordonatele punctelor de intersecţie a graficelor funcţiilor \(f\)şi \(g\).

(5p) 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia \(\sqrt{{{x}^{2}}-2x+1}+\sqrt{{{x}^{2}}-1}=0\).

(5p) 4. După o creştere cu 21,5 %, preţul unui produs este 243 de lei. Să se determine preţul produsului înainte de creştere.

(5p) 5. Fie triunghiul dreptunghic ABC şi D mijlocul ipotenuzei BC. Să se calculeze aria triunghiului ABC, ştiind că AB = 4  şi AD = 3.

(5p) 6. Fie un paralelogram \(ABCD\).Ştiind că \(AB=10\),\(AD=6\) şi  \(m\left( \sphericalangle BAD \right)={{60}^{\circ }}\) să se calculeze lungimea diagonalei \(BD\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră sistemul \(\left\{ \begin{matrix} x+y-z=1 \\ 4x-y+z=2 \\ x+3y-3z=a \\ \end{matrix} \right.\), unde \(AC=6\) este un parametru real.

(5p) a) Să se determine rangul matricei sistemului.

(5p) b) Să se determine \(a\in \mathbb{R}\) astfel încât sistemul să admită soluţia \(\left( \,\frac{3}{5}\,\,;\,\,1\,\,;\,\,\frac{3}{5}\, \right)\).

(5p) c) Pentru \(a=\frac{9}{5}\) să se rezolve sistemul de ecuaţii.

2. Se consideră polinoamele \(f,\,g\in {{\mathbb{Z}}_{7}}\left[ X \right]\),\(f={{X}^{2}}+\hat{4}X+\hat{6}\), \(g=\hat{5}X+\hat{2}\).

(5p) a) Să se calculeze \(f\left( {\hat{0}} \right)+\,g\left( {\hat{3}} \right)\).

(5p) b) Să se verifice că  \(f\cdot g=\hat{5}{{X}^{3}}+{{X}^{2}}+\hat{3}X+\hat{5}\).

(5p) c) Să se determine numărul rădăcinilor din  \({{\mathbb{Z}}_{7}}\) ale polinomului  f .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\),\(f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} m\,x+n,\ x\le 1 \\ 2{{x}^{2}}-x+1,\ x>1 \\ \end{matrix} \right.\), unde \(m,\ n\) sunt parametri reali.

(5p) a) Să se calculeze\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}\).

(5p) b) Să se determine ecuaţia tangentei la graficul funcţiei  f   în punctul A(2,7).

(5p) c) Să se determine \(m,\ n\) astfel încât funcţia \(f\) să fie derivabilă în \(x=1\).

2. Se consideră funcţia v\(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\),\(f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} x{{e}^{x}}+1,\ x<0 \\ {{e}^{x}}+{{x}^{2}}+x,\ x\ge 0 \\ \end{matrix} \right.\).

(5p) a) Să se demonstreze că funcţia  f  admite primitive pe \(\mathbb{R}\).

(5p) b) Să se calculeze \(\int\limits_{0}^{1}{\ f\left( x \right)}\ dx\).

(5p) c) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei \(g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\),  \(g\left( x \right)=f\left( x \right)-x{{e}^{x}}+x\), axa \(Ox\) şi dreptele de ecuaţii \(x=-2\) şi \(x=-1\).