Prof: Nicolaescu Nicolae.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se calculeze ${{2}^{{{\log }_{2}}3}}+{{\left( \frac{1}{5} \right)}^{-1}}$.

(5p) 2. Fie x₁,x₂ soluţiile ecuaţiei x²+x+3=0. Să se calculeze $\frac{x_{1}^{2}}{{{x}_{2}}}+\frac{x_{2}^{2}}{{{x}_{1}}}$.

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia . $\sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}=2\sqrt{3}$.

(5p) 4. Să se determine mulţimea $A=\left\{ x\in Z/\left| 3x+1 \right|\le \frac{1}{2} \right\}$.

(5p) 5. Se consideră un triunghi echilateral ABC cu latura 6 cm şi M mijlocul lui BC.Să se calculeze $\left| \overrightarrow{AM} \right|$.

(5p) 6. Să se calculeze aria unui triunghi cu lungimile laturilor de 5,6,respectiv 9 cm.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $A=\left( \begin{matrix} 2a & 1 \\ -1 & 3b \\ \end{matrix} \right)$ şi $B=\left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \\ \end{matrix} \right)$, $A,B\in {{M}_{2}}(R)$.

(5p) a) Să se calculeze ${{B}^{2}}-4B$.

(5p) b) Să se arate că $\forall a,b\in Z$matricea A este inversabilă.

(5p) c) Pentru $a=\frac{1}{2}$ şi $b=\frac{1}{3}$ să se calculeze ${{A}^{2012}}$.

2. Fie polinoamele $f={{\left( x-1 \right)}^{5}}+{{\left( x+1 \right)}^{5}}$şi $g={{x}^{2}}+4x+3\in R[X]$.

(5p) a) Să se calculeze f(1)f(-1).

(5p) b) Să se determine restul împărţitii lui f la g.

(5p) c) Să se arate că polinomul f se poate scrie sub forma$f=x\cdot h$ unde $h\in R[X]$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia $f:(0,\infty )\to R$, $f(x)=3\sqrt{x}-2\ln x$.

(5p) a) Să se calculeze $f'(x)$.

(5p) b) Să se arate că $f(x)\ge 4-4\ln \frac{4}{3}$,$\forall x\in (0,\infty )$.

(5p) c) Să se calculeze $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{f(x)}{\sqrt{x}}-2 \right)}^{x}}$.

2. Se consideră funcţia $f:R\to R$, $f(x)=\left\{ \begin{align} & {{2}^{x}}-1,x<1 \\ & {{x}^{2}}+\ln x,x\ge 1 \\ \end{align} \right.$.

(5p) a) Să se arate că f admite primitive pe R.

(5p) b) Să se calculeze $\int\limits_{2}^{3}{f(x)dx}$.

(5p) c) Să se arate că orice primitivă a funcţiei f este convexă pe $\left( -\infty ,1 \right)$.