Prof: Nicolaescu Nicolae.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Să se calculeze 2log23+(15)−1.
(5p) 2. Fie x1,x2 soluţiile ecuaţiei x2+x+3=0. Să se calculeze x21x2+x22x1.
(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia . √x2−3x+2=2√3.
(5p) 4. Să se determine mulţimea A={x∈Z/|3x+1|≤12}.
(5p) 5. Se consideră un triunghi echilateral ABC cu latura 6 cm şi M mijlocul lui BC.Să se calculeze |→AM|.
(5p) 6. Să se calculeze aria unui triunghi cu lungimile laturilor de 5,6,respectiv 9 cm.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
- Se consideră matricele A=(2a1−13b) şi B=(2−121), A,B∈M2(R).
(5p) a) Să se calculeze B2−4B.
(5p) b) Să se arate că ∀a,b∈Zmatricea A este inversabilă.
(5p) c) Pentru a=12 şi b=13 să se calculeze A2012.
- Fie polinoamele f=(x−1)5+(x+1)5şi g=x2+4x+3∈R[X].
(5p) a) Să se calculeze f(1)f(-1).
(5p) b) Să se determine restul împărţitii lui f la g.
(5p) c) Să se arate că polinomul f se poate scrie sub formaf=x⋅h unde h∈R[X].
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
- Se consideră funcţia f:(0,∞)→R, f(x)=3√x−2lnx.
(5p) a) Să se calculeze f′(x).
(5p) b) Să se arate că f(x)≥4−4ln43,∀x∈(0,∞).
(5p) c) Să se calculeze limx→∞(f(x)√x−2)x.
- Se consideră funcţia f:R→R, f(x)={2x−1,x<1x2+lnx,x≥1.
(5p) a) Să se arate că f admite primitive pe R.
(5p) b) Să se calculeze 3∫2f(x)dx.
(5p) c) Să se arate că orice primitivă a funcţiei f este convexă pe (−∞,1).