Varianta 50

Prof: Nicolaescu Nicolae.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Într-o progresie aritmetică a₁₀=28, a₃=7.Să se calculeze suma primilor 10 termeni ai progresiei aritmetice.

(5p) 2. Să se rezolve sistemul  \(\left\{ \begin{align} & x+y=3 \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=5 \\ \end{align} \right.\).

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia \({{4}^{x}}+{{4}^{-x}}=2\).

(5p) 4. Să se determine \(m\in R\)astfel încât soluţiile ecuaţiei \(m{{x}^{2}}-3x+5m+1=0\)să fie inverse una celeilalte.

(5p) 5. Să se calculeze \(\frac{\sin {{70}^{o}}\cos {{20}^{o}}+\sin {{20}^{o}}\cos {{70}^{o}}}{\cos {{70}^{o}}\cos {{25}^{o}}+\sin {{70}^{o}}\sin {{25}^{o}}}\).

(5p) 6. Să se calculeze distanţa de la A(1,-2) la dreapta de ecuaţie  h:3x+4y-7=0.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră sistemul \(\left\{ \begin{align} & 2x+my-3z=1 \\ & mx+2y+z=2 \\  & 3x-y+2z=-1 \\ \end{align} \right.\), \(m\in R\).

(5p) a) Să se arate că \(\forall m\in Q\)sistemul este compatibil determinat.

(5p) b) Fie A matricea asociată sistemului.Să se arate că detA<33, \(\forall m\in R\).

(5p) c) Să se rezolve sistemul pentru m=1

2. (5p) a) Câte elemente inversabile faţă de înmulţire conţine inelul \(\left( {{Z}_{9}},+,\cdot  \right)\)?

(5p) b) Să se rezolve în \({{Z}_{9}}\)ecuaţia \(\widehat{5}x+\widehat{3}=\widehat{0}\).

(5p) c) Să se calculeze în \({{Z}_{9}}\) \(\left| \begin{matrix} \widehat{3} & \widehat{1} \\ \widehat{1} & \widehat{4} \\ \end{matrix} \right|+\left| \begin{matrix} \widehat{1} & \widehat{2} & \widehat{3} \\ \widehat{3} & \widehat{1} & \widehat{2} \\ \widehat{1} & \widehat{1} & \widehat{7} \\ \end{matrix} \right|\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie \(f:(0,\infty )\to R,\,f(x)=\frac{x+3}{\sqrt{x}}\).

(5p) a) Să se arate că f este crescătoare pe \(\left[ 3,\infty  \right)\).

(5p) b) Să se demonstreze că \(2015\sqrt{2011}>2014\sqrt{2012}\).

(5p) c) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul \(A\left( 4,\frac{7}{2} \right)\).

2. Se consideră funcţiile \({{f}_{n}}(x)=\frac{{{\left( 1+x \right)}^{n}}}{x},{{f}_{n}}:{{R}^{*}}\to R\).

(5p) a) Să se calculeze \(\int{{{f}_{1}}(x)dx}\).

(5p) b) Să se arate că \(\int\limits_{1}^{2}{{{f}_{n}}(x)dx-\int\limits_{1}^{2}{{{f}_{n-1}}(x)dx=\frac{{{3}^{n}}-{{2}^{n}}}{n}}}\).

(5p) c) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei \(g:\left[ 1,2 \right]\to R,\ g(x)=\frac{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}{x}\).