Varianta 51

Prof: Nicolaescu Nicolae.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Într-o progresie geometrică \({{b}_{3}}=\frac{3}{4}\) şi \({{b}_{6}}=\frac{3}{32}\).Să se determine primul termen şi raţia progresiei.

(5p) 2. Să se calculeze probabilitatea ca alegând un element al mulţimii \(\left\{ \sqrt[3]{1},\sqrt[3]{2,}\sqrt[3]{3},...,\sqrt[3]{50} \right\}\), acesta să fie număr raţional.

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia \({{\log }_{9}}\left( {{x}^{2}}+2x \right)=\frac{1}{2}\).

(5p) 4. Să se determine \(n\in N\)astfel încât \(C_{n}^{3}=n(n-1)\).

(5p) 5. Fie triunghiul ABC cu A(-2,3), B(5,1), C(0,-4).Să se determine ecuaţia dreptei AG, unde G este centrul de greutate al triunghiului ABC.

(5p) 6. Dacă \(x\in \left( 0,\frac{\pi }{2} \right)\)şi \(\cos x=\frac{3}{4}\), să se calculeze sin x.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. În \({{M}_{2}}\left( R \right)\) se consideră matricele \(A=\left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 7 \\ \end{matrix} \right),{{I}_{2}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\).

(5p) a) Să se calculeze \({{A}^{2}}+3{{I}_{2}}\).

(5p) b) Să se arate că \(14/{{A}^{n}},\,\forall n\in {{N}^{*}}\).

(5p) c) Să se determine matricele \(X\in {{M}_{2}}\left( R \right)\)astfel încât AX=XA.

2. Pe R se defineşte legea de compoziţie \(x*y=xy-8(x+y)+72\).

(5p) a) Să se determine elementul neutru al legii.

(5p) b) Să se arate că \(\forall x,y\in \left[ 8,\infty  \right)\Rightarrow x*y\in \left[ 8,\infty  \right)\).

(5p) c) Să se rezolve ecuaţia \({{2}^{x}}*{{2}^{x}}=72\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia \(f:R\to R,f(x)=\left\{ \begin{align} & {{2}^{x-1}}+1,x<1 \\ & \frac{3x-1}{x},x\ge 1 \\ \end{align} \right.\).

 (5p) a) Să se studieze continuitatea funcţiei f în punctul \({{x}_{0}}=1\).

(5p) b) Să se arate că f este strict crescătoare pe \(\left[ 1,\infty  \right)\).

(5p) c) Să se găsească ecuaţia asimptotei la graficul funcţiei spre \(-\infty \).

2. Se consideră funcţia \(f:R\backslash \left\{ -1 \right\}\to R,\ f(x)=\frac{{{x}^{4}}}{x+1}\).

(5p) a) Să se calculeze \(\int{f(x)\cdot (x+1)dx}\).

(5p) b) Să se calculeze \(\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}\).

(5p) c) Să se arate că \(\frac{1}{2}\le \int\limits_{1}^{2}{f(x)dx\le \frac{16}{3}}\).