Prof:Oláh Csaba.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Dacă \({{\log }_{2}}3=a\), să se calculeze valoarea expresiei \(E=\frac{{{\log }_{6}}9}{1+{{\log }_{4}}27}\) în funcţie de \(a\).

(5p) 2. Fie mulţimea \(A=\left\{ \sqrt[3]{-10},\sqrt[3]{-9},...,\sqrt[3]{0},\sqrt[3]{1},...,\sqrt[3]{10} \right\}\). Care este probabilitatea, ca alegând la întâmplare un număr din \(A\), acesta să fie raţional?

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia \({{4}^{x}}-{{2}^{x+1}}+1=0\), \(x\in \mathbb{R}\).

(5p) 4. Fie funcţia \(f:\left( 1,\infty  \right)\to R\), \(f\left( x \right)={{2}^{x-1}}+1\). Să se arate că \(f\) este injectivă.

(5p) 5. Fie \(ABC\) un triunghi cu laturile \(AB=9\),\(BC=10\) şi \(AC=6\). Să se calculeze \(\cos B\).

(5p) 6. În triunghiul \(ABC\), \(M\in \left( BC \right)\) iar \(\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MC}\). Să se calculeze \(\overrightarrow{AM}\) în funcţie de \(\overrightarrow{AB}\)şi\(\overrightarrow{AC}\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie sistemul liniar \(\left\{ \begin{align} & 2x+y-z=3 \\ & x+ay-2z=6 \\ & ax-y+z=9 \\ \end{align} \right.\), \(a\in R\) şi matricea sistemului \(A=\left( \begin{matrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & a & -2 \\ a & -1 & 1 \\ \end{matrix} \right)\).

(5p) a) Să se calculeze detA 

(5p) b) Să se determine \(a\in \mathbb{R}\) astfel încât \(A\)să fie inversabilă;

(5p) c) Rezolvaţi sistemul dacă \(a=4\).

2. Fie polinomul \(f\in R\left[ X \right]\), \(f{{X}^{4}}-5{{X}^{3}}-7{{X}^{2}}+41X-30\).

(5p) a) Să se arate că  \[{{X}^{2}}-2X-15\]divide f 

(5p) b) Să se arate că \(f\)are toate rădăcinile reale;

(5p) c) Să se arate că 10 un divide \(x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+x_{3}^{n}+x_{4}^{n}\), \(n\in {{N}^{*}}\)unde \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\) şi \({{x}_{4}}\) sunt rădăcinile polinomului \(f\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f\left( x \right)=\frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{x}\).

(5p) a) \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=?\)

(5p) b) Să se studieze existenta asimptotei orizontale spre \(+\infty \);

(5p) c) Să se calculeze limita \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( \ln x \right)\) .

2. Fie funcţia \(f:\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\to \mathbb{R}\), \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x-2}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)}\).

(5p) a) Să se demonstreze că \({{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x-2=\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\);

(5p) b)Calculați \(\int{f\left( x \right)dx}\);

(5p) c)Calculați \(\int\limits_{0}^{1}{\left( x-1 \right)f\left( x \right)dx}\).