Varianta 53

Prof:Oláh Csaba

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Dacă \(a=C_{16}^{7}+C_{16}^{12}\) şi \(b=C_{16}^{4}+C_{16}^{9}\), să se calculeze \(a-b\).

(5p) 2. Fie funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f\left( x \right)=m{{x}^{2}}+\left( 2m+3 \right)x+3\). Să se calculeze \(m\) dacă \(\underset{x\in R}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=-3\).

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia \({{\log }_{\sqrt{2}+1}}\left( x+1 \right)+{{\log }_{\sqrt{2}-1}}\left( x-1 \right)=1\).

(5p) 4. Dacă \({{\left( {{b}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}\) este un şir geometric, \({{b}_{3}}=6\) şi \({{b}_{7}}=54\), să se calculeze \({{b}_{1}}\).

(5p) 5. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul \(A\left( 1,2 \right)\)şi e perpendiculară pe dreapta \(d\), cu ecuaţia \(d:2x-y+4=0\).

(5p) 6. Într-un triunghi \(ABC\)se cunosc:\(A=\frac{\pi }{4}\),\(B=\frac{\pi }{3}\) şi \(AC=10\). Să se calculeze lungimea laturii \(BC\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie matricile \(A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & -a \\ 0 & 1 & 5 \\ a & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\), \(B=\left( \begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{matrix} \right)\), \(a\in \mathbb{R}\).

(5p) a) Să se determine valorile lui \(a\)pentru care matricea \(A\)este inversabilă;

(5p) b) Pentru \(a=1\) să se calculeze \({{A}^{-1}}\);

(5p) c) Să se rezolve ecuaţia matriceală \(A\cdot X=B\), unde \(X\in {{M}_{3}}\left( \mathbb{R} \right)\).

2. Fie polinomul \(f\in \mathbb{R}\left[ X \right]\), \(f={{X}^{3}}+{{X}^{2}}+X-3\).

(5p) a) Să se demonstreze că  f nu are toate rădăcinile reale;

(5p) b) Să se afle rădăcina reală a lui \(f\);

(5p) c) Să se calculeze \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}\), unde \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)şi \({{x}_{3}}\)sunt rădăcinile polinomului \(f\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia \(f:{{\mathbb{R}}^{*}}\to \mathbb{R}\), \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}}\).

(5p) a) Să se arate că \(f\left( x \right)=1-\frac{1}{{{x}^{2}}}\);

(5p) b) Să se studieze monotonia funcţiei \(f\)pe domemiul maxim de definiţie;

(5p) c) Să se calculeze limita \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ f\left( 2 \right)\cdot f\left( 3 \right)\cdot ...\cdot f\left( n \right) \right]\).

2. Fie funcţia \(f:{{\mathbb{R}}^{*}}\to \mathbb{R}\), \(f\left( x \right)={{2}^{x}}+{{x}^{2}}\).

(5p) a) Să se demonstreze că orice primitivă \(F\)a funcţiei \(f\)este crescătoare;

(5p) b) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între dreptele \(x=1\),\(x=2\), axa \(Ox\)și graficul lui \(f\);

(5p) c) Să se calculeze \(\int\limits_{1}^{2}{\left( f\left( x \right)+f\left( 2x \right) \right)dx}\).