Varianta 54

Prof: Opriţă Elena.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se determine al patrulea termen al progresiei aritmetice \({{\left( {{a}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}\), ştiind că \({{a}_{1}}=5\) şi \(r=2\).

(5p) 2. Se consideră ecuaţia \({{x}^{2}}+4x+m=0\) cu rădăcinile \({{x}_{1}}\) şi \({{x}_{2}}\). Să se determine parametrul real m astfel încât ecuaţia să aibă rădăcini reale egale.

(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia \({{3}^{6x-12}}=729\).

(5p) 4. Pe eticheta unei sticle de apă minerală găsim precizarea că apa conţine \({{2}^{0}}{{/}_{00}}\)magneziu. Dacă în sticlă sunt 2,5 litri de apă, aflaţi cantitatea de magneziu conţinută în apă.

(5p) 5. Se consideră punctele \(A(1,3),\quad B(2,1)\). Aflaţi lungimea segmentului \(AB\).

(5p) 6. Să se calculeze aria triunghiului \(ABC\) ştiind că \(AC=3,\ m(\sphericalangle BAC)={{30}^{0}},\ AB=5\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. În mulţimea \({{M}_{2}}(R)\) se consideră submulţimea \(G=\left\{ \left( \begin{matrix} x & y \\ 5y & x \\ \end{matrix} \right)/x,y\in R \right\}\).

(5p) a) Să se verifice dacă \({{I}_{2}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\in G\) şi \({{O}_{2}}=\left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)\in G\).

(5p) b) Să se arate că dacă \(A,B\in G\) atunci \(A+B\in G\) şi \(AB\in G\).

(5p) c) Dacă \({{x}^{2}}-5{{y}^{2}}\ne 0\)calculaţi inversa matricei \(A\in G\).

2. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie \(x\circ y=4xy+4x+4y+2,\ \forall x,y\in R\).

(5p) a) Să se arate că \(x\circ y=4(x+1)(y+1)-1,\ \forall x,y\in R\).

(5p) b) Să se arate că legea \(_{''}{{\circ }^{''}}\) este asociativă.

(5p) c) Să se rezolve ecuaţia \(\underbrace{x\circ x\circ x\circ ...\circ x}_{de\ 2012\ \,ori}=-1\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se dă funcţia \(f:R-\left\{ 0 \right\}\to R,\quad f(x)=\frac{{{x}^{2}}+a}{x}\), unde \(a\in R\).

(5p) a) Determinaţi a astfel încât \(f(1)=2.\)

(5p) b) Pentru \(a=1\), calculaţi \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\).

(5p) c) Dacă \(a\ge 0\), arătaţi că funcţia \(f\)este strict crescătoare pe \(\left( \sqrt{a},+\infty  \right)\)

2. Se consideră funcţiile \(f,g:R\to R,\ f(x)=x{{e}^{x}}\ \)şi \(g(x)={{x}^{2}}+2\).

(5p) a) Să se calculeze \(\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}\).

(5p) b) Să se calculeze \(\int\limits_{0}^{1}{f(x)g'(x)dx}\).

(5p) c) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei \(h:R\to R,\ h(x)=f(x)+g(x)\), axa \(Ox\)şi dreptele \(x=0\) şi \(x=1\).