Prof:Opriţă Elena

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se arate că rădăcinile ecuaţiei \({{x}^{2}}+(5-m)x-{{m}^{2}}+5=0\) sunt reale, oricare ar fi parametrul real \(m\).

(5p) 2. Se consideră mulţimea \(A=\left\{ 1,2,3,...,10 \right\}\). Aflaţi câte submulţimi cu 8 elemente are mulţimea \(A\).

(5p) 3. e consideră numărul raţional \(\frac{2}{7}\) scris sub formă de fracţie zecimală infinită \(\frac{2}{7}=0,{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3...}}\). Să se determine \({{a}_{2012}}\).

(5p) 4.Să se rezolve ecuaţia: \({{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-7x+17 \right)={{\log }_{5}}\left( 3x+8 \right)\).

(5p) 5. Să se calculeze \(\cos \,{{50}^{0}}+\cos \,{{130}^{0}}\).

(5p) 6. În reperul cartezian \(xOy\), fie punctul \(A(1,1)\) şi dreapta \(d:5x+12y+9=0\). Să se deteermine ecuaţia dreptei care trece prin \(A\) şi este paralelă cu drepta \(d\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră matricea \(A=\left( \begin{matrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right).\) Pentru orice \(n\in {{N}^{*}}\), se defineşte maticea \({{B}_{n}}=A+{{A}^{2}}+{{A}^{3}}+...+{{A}^{n}}\).

(5p) a) Să se determine \({{A}^{2}}\) şi \({{A}^{3}}\).

(5p) b) Ştiind că \({{A}^{n}}=\left( \begin{matrix} {{6}^{n}} & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\),\(\forall n\in {{N}^{*}}\), să se rezolve ecuaţia: \(\det \left( {{A}^{n}} \right)=1296\).

(5p) c) Să se determine matricea \({{B}_{2012}}\).

2. Fie \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\) soluţiile ecuaţiei \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+1=0\).

(5p) a) Calculaţi \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}\).

(5p) b) Să se afle suma \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\).

(5p) c) Arătaţi că \(\left| \begin{matrix} \frac{1}{{{x}_{1}}} & \frac{1}{{{x}_{2}}} & \frac{1}{{{x}_{3}}} \\ {{x}_{3}} & {{x}_{1}} & {{x}_{2}} \\ \frac{1}{{{x}_{2}}} & \frac{1}{{{x}_{3}}} & \frac{1}{{{x}_{1}}} \\ \end{matrix} \right|=-8\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:R\to R,\ f(x)={{x}^{2012}}\).

(5p) a) Să se calculeze \(f'(x),\ x\in R\).

(5p) b) Să se calculeze \(\underset{x\to \pi }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2012}}-{{\pi }^{2012}}}{x-\pi }\).

(5p) c) Să se determine intervalele de concavitate şi convexitate ale funcţiei \(f\).

2. Se consideră şirul \({{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}\), definit prin \({{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{n}}{{e}^{-x}}}dx,\ \forall n\in {{N}^{*}}\).

(5p) a) Să se calculeze \({{I}_{1}}\).

(5p) b) Utilizând metoda de integrare prin părţi, să se arate că \({{I}_{n}}=-\frac{1}{e}+n{{I}_{n-1}},\ \forall n\in N,n\ge 2\).

(5p) c) Folosind, eventual, inegalitatea \({{x}^{n}}\cdot \frac{1}{e}\le {{x}^{n}}{{e}^{-x}}\le {{x}^{n}},\ \forall x\in \left[ 0,1 \right],\ \forall n\in {{N}^{*}}\) să se arate că \(\frac{1}{\left( n+1 \right)e}\le {{I}_{n}}\le \frac{1}{n+1},\ \forall n\in {{N}^{*}}\).