Varianta 56

Prof: Opriţă Elena

 SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se calculeze ${{\log }_{2}}128-{{\log }_{3}}27+{{\log }_{4}}\frac{1}{4}$.

(5p) 2. Să se determine suma elementelor mulţimii $A=\left\{ 1,4,7,10,....,37 \right\}$.

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia ${{2}^{{{x}^{2}}+3x}}=16$.

(5p) 4. Un copac cu  înălţimea de 10 m creşte în fiecare lună cu ${{4}^{0}}{{/}_{0}}$din înălţimea sa. Aflaţi ce înălţime va avea copacul după două luni.

(5p) 5. Fie punctele $A(2,2),\ B(-6,-2)$. Aflaţi coordonatele punctului $A'$, simetricul lui $A$în raport cu punctul $B$.

(5p) 6. Să se calculeze lungimea laturii $BC$ a triunghiului $ABC$ ştiind că $AB=5,\ AC=8$ şi $m\left( \sphericalangle BAC \right)={{60}^{0}}$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră matricele $A=\left( \begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & -2 \\ 3 & 3 & -3 \\ \end{matrix} \right)$ şi ${{I}_{3}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$.

(5p) a) Să se calculeze ${{A}^{2}}$.

(5p) b) Să se verifice identitatea ${{I}_{3}}=\left( {{I}_{3}}-A \right)\left( {{I}_{3}}+A \right)$.

(5p) c) Să se arate că matricea ${{I}_{3}}-A$ este inversabilă şi să se calculeze inversa sa.

2. Se consideră polinomul $f={{X}^{2}}+X+1$, cu rădăcinile ${{x}_{1}}$ şi ${{x}_{2}}$ şi polinomul $g={{X}^{3}}+3{{X}^{2}}+3X+3$.

(5p) a) Aflaţi restul împărţirii polinomului $f$ la $X+2$.

(5p) b) Calculaţi $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}$.

(5p) c) Să se rezolve în $R$ ecuaţia $g(x)-f(x)=1$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia $f:R\to R,\ f(x)=x+3+{{3}^{x}}$.

(5p) a) Să se calculeze $f'(x),\ x\in R$.

(5p) b) Să se arate că funcţia $f$ este strict crescătoare pe $R$.

(5p) c) Să se calculeze suma $f'(1)+f'(2)+f'(3)+...+f'(2012)$.

2. Fie funcţiile $f,F:R\to R,\ f(x)={{e}^{x}}+4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2$ şi $F(x)={{e}^{x}}+{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+2x-2$.

(5p) a) Să se arate că $F$ este o primitivă pentru funcţia $f$.

(5p) b) Să se calculeze $\int\limits_{0}^{1}{f(x)F(x)dx}$.

(5p) c) Să se demonstreze că $\int\limits_{0}^{1}{(xf(x)+F(x))dx=3}$.