Varianta 56
Prof: Opriţă Elena
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Să se calculeze \({{\log }_{2}}128-{{\log }_{3}}27+{{\log }_{4}}\frac{1}{4}\).
(5p) 2. Să se determine suma elementelor mulţimii \(A=\left\{ 1,4,7,10,....,37 \right\}\).
(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia \({{2}^{{{x}^{2}}+3x}}=16\).
(5p) 4. Un copac cu înălţimea de 10 m creşte în fiecare lună cu \({{4}^{0}}{{/}_{0}}\)din înălţimea sa. Aflaţi ce înălţime va avea copacul după două luni.
(5p) 5. Fie punctele \(A(2,2),\ B(-6,-2)\). Aflaţi coordonatele punctului \(A'\), simetricul lui \(A\)în raport cu punctul \(B\).
(5p) 6. Să se calculeze lungimea laturii \(BC\) a triunghiului \(ABC\) ştiind că \(AB=5,\ AC=8\) şi \(m\left( \sphericalangle BAC \right)={{60}^{0}}\).
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.Se consideră matricele \(A=\left( \begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & -2 \\ 3 & 3 & -3 \\ \end{matrix} \right)\) şi \({{I}_{3}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\).
(5p) a) Să se calculeze \({{A}^{2}}\).
(5p) b) Să se verifice identitatea \({{I}_{3}}=\left( {{I}_{3}}-A \right)\left( {{I}_{3}}+A \right)\).
(5p) c) Să se arate că matricea \({{I}_{3}}-A\) este inversabilă şi să se calculeze inversa sa.
- Se consideră polinomul \(f={{X}^{2}}+X+1\), cu rădăcinile \({{x}_{1}}\) şi \({{x}_{2}}\) şi polinomul \(g={{X}^{3}}+3{{X}^{2}}+3X+3\).
(5p) a) Aflaţi restul împărţirii polinomului \(f\) la \(X+2\).
(5p) b) Calculaţi \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\).
(5p) c) Să se rezolve în \(R\) ecuaţia \(g(x)-f(x)=1\).
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
- Se consideră funcţia \(f:R\to R,\ f(x)=x+3+{{3}^{x}}\).
(5p) a) Să se calculeze \(f'(x),\ x\in R\).
(5p) b) Să se arate că funcţia \(f\) este strict crescătoare pe \(R\).
(5p) c) Să se calculeze suma \(f'(1)+f'(2)+f'(3)+...+f'(2012)\).
- Fie funcţiile \(f,F:R\to R,\ f(x)={{e}^{x}}+4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2\) şi \(F(x)={{e}^{x}}+{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+2x-2\).
(5p) a) Să se arate că \(F\) este o primitivă pentru funcţia \(f\).
(5p) b) Să se calculeze \(\int\limits_{0}^{1}{f(x)F(x)dx}\).
(5p) c) Să se demonstreze că \(\int\limits_{0}^{1}{(xf(x)+F(x))dx=3}\).