Varianta 57

Prof: Păcurar Cornel-Cosmin

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.Într-o progresie geometrică \({{\left( {{b}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}\) se cunosc \({{b}_{1}}\)=1 și q=2.Calculați suma primilor 5 termeni ai progresiei.

(5p) 2.Se consideră funcția f:ℝ→ℝ, f .Calculați f

(5p) 3.Rezolvați în ℝ ecuația \(\sqrt[3]{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1}=x+1\).

(5p) 4.După o reducere cu 10% prețul unui produs devine 180 lei.Aflați prețul produsului înainte de ieftinire.

(5p) 5.Se consideră vectorii  \(\overrightarrow{{{v}_{1}}}=2\overrightarrow{i}+\left( a+3 \right)\overrightarrow{j}\)și \(\overrightarrow{{{v}_{2}}}=\left( a+2 \right)\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}\), unde a\(\in \mathbb{R}\).Determinați numărul a<0 pentru care vectorii \(\overrightarrow{{{v}_{1}}}\) și \(\overrightarrow{{{v}_{2}}}\)sunt coliniari.

(5p) 6. Aflați aria triunghiului ABC dacă AB=AC=10 și BC=12.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră matricele \({{I}_{2}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right),A=\left( \begin{matrix} 1 & -3 \\ -1 & 3 \\ \end{matrix} \right)\) și \(X\left( a \right)={{I}_{2}}+aA,\) unde \(a\in \mathbb{Z}.\)

(5p) a) Calculați \({{A}^{2}}-4A.\)

(5p) b) Demonstrați că \(X\left( a \right)\cdot X\left( b \right)=X\left( a+b+4ab \right)\), oricare ar fi \(a,b\in \mathbb{Z}\).

(5p) c)Arătați că  \(X\left( a \right)\) este matrice inversabilă, oricare ar fi \(a\in \mathbb{Z}\).

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x*y=2xy+6x+6y+15\).

(5p) a)Arătați că  \(x*y=2\left( x+3 \right)\left( y+3 \right)-3\),oricare ar fi \(x,y\in \mathbb{R}\).

(5p) b)Arătați că legea  \(_{''}{{*}^{''}}\)este asociativă.

(5p) c)Calculați \(\left( -2012 \right)*\left( -2011 \right)*\left( -2010 \right)*...*\left( 2010 \right)*\left( 2011 \right)*\left( 2012 \right)\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{x}^{2012}}+{{2012}^{x}}\).

(5p) a)Să se determine  \({{f}^{'}}\left( x \right),x\in \mathbb{R}\).

(5p) b) Să se demonstreze că funcția \(f\)este convexă pe \(\mathbb{R}\).

(5p) c) Să se calculeze \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}^{'}}\left( x \right)-{{f}^{'}}\left( 0 \right)}{x}\).

2. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{4}}+4}\).

(5p) a) Calculați volumul corpului obținut prin rotația, în jurul axei Ox, a graficului funcției \(g:\left[ 0,5 \right]\to \mathbb{R},g\left( x \right)=f\left( x \right)\).

(5p) b) Demonstrați că orice primitivă F a funcției \(f\) este crescătoare pe mulțimea \(\mathbb{R}\).

(5p) c) Demonstrați că \(\int\limits_{-4}^{4}{f\left( x \right)dx=2\cdot \int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)}}dx\).