Varianta 57
Prof: Păcurar Cornel-Cosmin
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1.Într-o progresie geometrică (bn)n≥1 se cunosc b1=1 și q=2.Calculați suma primilor 5 termeni ai progresiei.
(5p) 2.Se consideră funcția f:ℝ→ℝ, f .Calculați f
(5p) 3.Rezolvați în ℝ ecuația 3√x3−x2+1=x+1.
(5p) 4.După o reducere cu 10% prețul unui produs devine 180 lei.Aflați prețul produsului înainte de ieftinire.
(5p) 5.Se consideră vectorii →v1=2→i+(a+3)→jși →v2=(a+2)→i+3→j, unde a∈R.Determinați numărul a<0 pentru care vectorii →v1 și →v2sunt coliniari.
(5p) 6. Aflați aria triunghiului ABC dacă AB=AC=10 și BC=12.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.Se consideră matricele I2=(1001),A=(1−3−13) și X(a)=I2+aA, unde a∈Z.
(5p) a) Calculați A2−4A.
(5p) b) Demonstrați că X(a)⋅X(b)=X(a+b+4ab), oricare ar fi a,b∈Z.
(5p) c)Arătați că X(a) este matrice inversabilă, oricare ar fi a∈Z.
- Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy+6x+6y+15.
(5p) a)Arătați că x∗y=2(x+3)(y+3)−3,oricare ar fi x,y∈R.
(5p) b)Arătați că legea ″∗″este asociativă.
(5p) c)Calculați (−2012)∗(−2011)∗(−2010)∗...∗(2010)∗(2011)∗(2012).
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
- Se consideră funcția f:R→R,f(x)=x2012+2012x.
(5p) a)Să se determine f′(x),x∈R.
(5p) b) Să se demonstreze că funcția feste convexă pe R.
(5p) c) Să se calculeze limx→0f′(x)−f′(0)x.
- Se consideră funcția f:R→R,f(x)=√x4+4.
(5p) a) Calculați volumul corpului obținut prin rotația, în jurul axei Ox, a graficului funcției g:[0,5]→R,g(x)=f(x).
(5p) b) Demonstrați că orice primitivă F a funcției f este crescătoare pe mulțimea R.
(5p) c) Demonstrați că 4∫−4f(x)dx=2⋅4∫0f(x)dx.