FaceBook  Twitter  

Varianta 57

Prof: Păcurar Cornel-Cosmin

 

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.Într-o progresie geometrică (bn)n1 se cunosc b1=1 și q=2.Calculați suma primilor 5 termeni ai progresiei.

(5p) 2.Se consideră funcția f:ℝ→ℝ, f .Calculați f

(5p) 3.Rezolvați în ℝ ecuația 3x3x2+1=x+1.

(5p) 4.După o reducere cu 10% prețul unui produs devine 180 lei.Aflați prețul produsului înainte de ieftinire.

(5p) 5.Se consideră vectorii  v1=2i+(a+3)jși v2=(a+2)i+3j, unde aR.Determinați numărul a<0 pentru care vectorii v1 și v2sunt coliniari.

(5p) 6. Aflați aria triunghiului ABC dacă AB=AC=10 și BC=12.

 

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră matricele I2=(1001),A=(1313) și X(a)=I2+aA, unde aZ.

(5p) a) Calculați A24A.

(5p) b) Demonstrați că X(a)X(b)=X(a+b+4ab), oricare ar fi a,bZ.

(5p) c)Arătați că  X(a) este matrice inversabilă, oricare ar fi aZ.

  1. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție xy=2xy+6x+6y+15.

(5p) a)Arătați că  xy=2(x+3)(y+3)3,oricare ar fi x,yR.

(5p) b)Arătați că legea  este asociativă.

(5p) c)Calculați (2012)(2011)(2010)...(2010)(2011)(2012).

 

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

  1. Se consideră funcția f:RR,f(x)=x2012+2012x.

(5p) a)Să se determine  f(x),xR.

(5p) b) Să se demonstreze că funcția feste convexă pe R.

(5p) c) Să se calculeze limx0f(x)f(0)x.

  1. Se consideră funcția f:RR,f(x)=x4+4.

(5p) a) Calculați volumul corpului obținut prin rotația, în jurul axei Ox, a graficului funcției g:[0,5]R,g(x)=f(x).

(5p) b) Demonstrați că orice primitivă F a funcției f este crescătoare pe mulțimea R.

(5p) c) Demonstrați că 44f(x)dx=240f(x)dx.