Varianta 58

Prof: Păcurar Cornel-Cosmin

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.Să se determine  \(x\in \mathbb{R}\) pentru care numerele \(x-2,x+2,3x+4\) sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

(5p) 2.Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=6-x\).Calculați \(f\left( 1 \right)\cdot f\left( 2 \right)\cdot f\left( 3 \right)\cdot ...\cdot f\left( 9 \right)\).

(5p) 3.Rezolvați în \(\mathbb{R}\)ecuația \({{\log }_{2}}\left( 5-x \right)=3\).

(5p) 4.Să se calculeze probabilitatea ca alegând un număr natural de două cifre acesta să fie divizibil cu 15.

(5p) 5.În reperul cartezian xOy se consideră punctele \(A\left( 2,3 \right)\)și \(B\left( 4,1 \right)\).Determinați ecuația mediatoarei segmentului\(\left[ AB \right]\).

(5p) 6.Calculați raza cercului circumscris triunghiului ABC, știind că \(AC=8\) și\(m\left( \sphericalangle ABC \right)={{150}^{\circ }}\)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.În \({{M}_{2}}\left( \mathbb{R} \right)\) se consideră matricele \(A\left( x \right)=\left( \begin{matrix} 1+4x & -3x \\ 8x & 1-6x \\ \end{matrix} \right)\)\(,x\in \mathbb{R}\).

(5p) a)Să se calculeze \(A\left( 1 \right)\cdot A\left( -1 \right)\).

(5p) b)Să se verifice dacă \({{\left( A\left( x \right) \right)}^{2}}=A\left( -2{{x}^{2}}+2x \right),\forall x\in \mathbb{R}.\)

(5p) c)Să se determine inversa matricei  \(A\left( 1 \right).\)

2.Se consideră ecuația  \({{x}^{4}}-a{{x}^{3}}+2ax-2=0\) cu soluțiile \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}},\)unde \(a\in \mathbb{R}.\)

(5p) a)Să se determine \(a\in \mathbb{R}\) astfel încât \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}=-5.\)

(5p) b)Să se determine soluțiile reale ale ecuației, pentru \(a=1.\)

(5p) c)Să se determine valorile întregi ale lui  \(a\) pentru care ecuația admite cel puțin o soluție număr întreg.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x+{{2012}^{x}}\).

(5p) a) Calculați \({{f}^{'}}\left( 0 \right)\).

(5p) b) Arătați că funcția \(f\) este crescătoare pe \(\mathbb{R}\).

(5p) c)Arătați că  \({{a}^{3}}-{{a}^{2}}+a-{{b}^{3}}+{{b}^{2}}-b\le {{2012}^{b}}-{{2012}^{a}}\),oricare ar fi numérele reale \(a,b\) cu \(a\le b\).

2.Se consideră funcțiile  \({{f}_{m}}\left( x \right)=4{{m}^{2}}{{x}^{2}}+4mx+4,\)unde \(m\in \mathbb{R}\).

(5p) a)Determinați mulțimea primitivelor funcției \({{f}_{0}}\).

(5p) b)Calculați aria suprafeței cuprinse între graficul funcției \({{f}_{1}}\), axa Ox și dreptele de ecuații  \(x=0\)și \(x=1\).

(5p) c)Calculați  \(\int\limits_{1}^{2}{\left( \frac{{{f}_{2}}\left( x \right)-4}{x} \right)}\cdot {{e}^{x}}dx.\)