Varianta 58

Prof: Păcurar Cornel-Cosmin

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.Să se determine  $x\in \mathbb{R}$ pentru care numerele $x-2,x+2,3x+4$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

(5p) 2.Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=6-x$.Calculați $f\left( 1 \right)\cdot f\left( 2 \right)\cdot f\left( 3 \right)\cdot ...\cdot f\left( 9 \right)$.

(5p) 3.Rezolvați în $\mathbb{R}$ecuația ${{\log }_{2}}\left( 5-x \right)=3$.

(5p) 4.Să se calculeze probabilitatea ca alegând un număr natural de două cifre acesta să fie divizibil cu 15.

(5p) 5.În reperul cartezian xOy se consideră punctele $A\left( 2,3 \right)$și $B\left( 4,1 \right)$.Determinați ecuația mediatoarei segmentului$\left[ AB \right]$.

(5p) 6.Calculați raza cercului circumscris triunghiului ABC, știind că $AC=8$ și$m\left( \sphericalangle ABC \right)={{150}^{\circ }}$

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.În ${{M}_{2}}\left( \mathbb{R} \right)$ se consideră matricele $A\left( x \right)=\left( \begin{matrix} 1+4x & -3x \\ 8x & 1-6x \\ \end{matrix} \right)$$,x\in \mathbb{R}$.

(5p) a)Să se calculeze $A\left( 1 \right)\cdot A\left( -1 \right)$.

(5p) b)Să se verifice dacă ${{\left( A\left( x \right) \right)}^{2}}=A\left( -2{{x}^{2}}+2x \right),\forall x\in \mathbb{R}.$

(5p) c)Să se determine inversa matricei  $A\left( 1 \right).$

2.Se consideră ecuația  ${{x}^{4}}-a{{x}^{3}}+2ax-2=0$ cu soluțiile ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}},$unde $a\in \mathbb{R}.$

(5p) a)Să se determine $a\in \mathbb{R}$ astfel încât ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}=-5.$

(5p) b)Să se determine soluțiile reale ale ecuației, pentru $a=1.$

(5p) c)Să se determine valorile întregi ale lui  $a$ pentru care ecuația admite cel puțin o soluție număr întreg.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x+{{2012}^{x}}$.

(5p) a) Calculați ${{f}^{'}}\left( 0 \right)$.

(5p) b) Arătați că funcția $f$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$.

(5p) c)Arătați că  ${{a}^{3}}-{{a}^{2}}+a-{{b}^{3}}+{{b}^{2}}-b\le {{2012}^{b}}-{{2012}^{a}}$,oricare ar fi numérele reale $a,b$ cu $a\le b$.

2.Se consideră funcțiile  ${{f}_{m}}\left( x \right)=4{{m}^{2}}{{x}^{2}}+4mx+4,$unde $m\in \mathbb{R}$.

(5p) a)Determinați mulțimea primitivelor funcției ${{f}_{0}}$.

(5p) b)Calculați aria suprafeței cuprinse între graficul funcției ${{f}_{1}}$, axa Ox și dreptele de ecuații  $x=0$și $x=1$.

(5p) c)Calculați  $\int\limits_{1}^{2}{\left( \frac{{{f}_{2}}\left( x \right)-4}{x} \right)}\cdot {{e}^{x}}dx.$