Varianta 59

Prof: PODUMNEACĂ DANIELA

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se rezolve ecuaţia \(1+3+5+..+x=100\).

(5p) 2. Să se determine soluţiile întregi ale inecuaţiei \({{(x-7)}^{2}}\le 7-x\). 

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia \({{\log }_{5}}({{x}^{2}}+8)={{\log }_{5}}(8+x)\).

(5p) 4. Câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulţimii \(M=\{1,2,3,4,5\}\).

(5p) 5. Să se determine numărul real a astfel încât vectorii \({{\overrightarrow{v}}_{1}}=(a-3)\overrightarrow{i}+8\overrightarrow{j}\)şi \({{\overrightarrow{v}}_{2}}=5\overrightarrow{i}+10a\overrightarrow{j}\)să fie coliniari.

(5p) 6. Se consideră punctele M(3;0), N(-1;2) şi P(5;-3). Să se determine ecuaţia dreptei d care trece prin P şi este paralelă cu MN.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea \(A=\left( \begin{matrix} 5 & -2 \\ 3 & 0 \\ \end{matrix} \right)\).

(5p) a) Să se calculeze detA.

(5p) b) Să se determine inversa matricei A.

(5p) c) Să se calculeze suma \({{A}^{2}}+A\cdot {{A}^{-1}}+3A\).

2. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie “*” definită prin \(x*y=3xy-6x-6y+14\).

(5p) a) Să se verifice dacă \(x*y=3(x-2)(y-2)+2,\forall x,y\in \mathbb{R}\).

(5p) b) Să se rezolve în mulţimea\((2,\infty )\)ecuaţia \(({{2}^{x}})*(\lg x)=2\).

(5p) c) Să se arate că mulţimea G=\((2,\infty )\)este parte stabilă a lui \(\mathbb{R}\)în raport cu legea “*”.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{{{x}^{3}}}{3}-x+\lg ({{x}^{2}}+1)\).

(5p) a) Să se calculeze \({{f}^{'}}(x)\).

(5p) b) Să se calculeze \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\).

(5p) c) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul fucţiei în punctul de abscisă 0.

2. Fie funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f(x)=\left\{ \begin{align} & {{e}^{x}}+5,x\le 0 \\ & {{x}^{2}}-2x+6,x>0 \\ \end{align} \right.\).(5p) a) Să se arate ca funcţia f admite primitive pe \(\mathbb{R}\).

(5p) b) Să se calculeze \(\int_{1}^{2}{f(x)dx}\).

(5p) c) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse intre graficul funcţiei \(g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(g(x)=x\cdot f(x)\), axa Ox şi dreptele de ecuaţii \(x=-1,x=0\).