Varianta 60

Prof: PODUMNEACĂ DANIELA

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se calculeze \({{\log }_{5}}15+{{\log }_{5}}6-{{\log }_{5}}18\).

(5p) 2. Să se determine valorile parametrului real m pentru care ecuaţia \({{x}^{2}}-(2m+1)x+m=0\) are două rădăcini reale distincte.

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia\({{7}^{1+\sqrt{2x+1}}}={{7}^{x}}\).

(5p) 4. Fie mulţimea \(A=\{a,b,c,d\}\). Să se calculeze probabilitatea ca alegând o submulţime a lui A aceasta să aibă 2 elemente.

(5p) 5. Fie dreapta \(d:y=7x-3\) şi punctele \(P(m-2;3)\)şi\(Q(-5;3m+1)\), \(m\in \mathbb{R}\). Să se determine valorile lui m astfel încât dreapta d să fie paralelă cu dreapta PQ.

(5p) 6.  În triunghiul ABC se dau AB = 4, BC = 7 şi \(m(\sphericalangle B)={{60}^{0}}\). Să se afle perimetrul \(\Delta ABC\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră sistemul de ecusţii liniare \(\left\{ \begin{matrix} x+y+z=2 \\ -x+y+z=0 \\ 2x-y+az=1 \\ \end{matrix} \right.\), unde \(a\in \mathbb{R}\).

(5p) a) Calculaţi determinantul matricei sistemului.

(5p) b) Arătaţi că M(1,1,0) este soluţia sistemului \(\forall a\in \mathbb{R}\).

(5p) c) Rezolvaţi sistemul pentru \(a\ne -1\).

2. Fie polinomul \(f={{X}^{3}}+2{{X}^{2}}-5X+1,{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\in \mathbb{C}\)sunt rădăcinile polinomului f.

(5p) a) Determinaţi redtul împărţirii polinomului f  la polinomul X+3.

(5p) b) Să se calculeze suma rădăcinilor polinomului f.

(5p) c) Calculaţi \((1-{{x}_{1}})(1-{{x}_{2}})(1-{{x}_{3}})\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie \(f.g:{{\mathbb{R}}^{*}}\to \mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{{{e}^{x}}}{{{6}^{x}}-1}\), \(g(x)=\frac{f(x)}{{{e}^{x}}}\).

(5p) a) Determinaţi ecuaţia asimptotei la +\(\infty \)a graficului funcţiei f.

(5p) b) Să se calculeze \(g'(x)\).

(5p) c) Să se studieze monotonia funcţiei g.

2. Fie \(f:{{\mathbb{R}}^{{}}}\to \mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{x}{1+{{x}^{2}}}\).

(5p) a) Determinaţi o primitiva F a lui f, pentru care F(0) = 5.

(5p) b) Calculaţi \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{x}\cdot f(x)dx}\).

(5p) c) Calculaţi \(\int\limits_{0}^{1}{x\cdot {f}'(x)dx}\).