Varianta 61

Prof: PODUMNEACĂ DANIELA

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculaţi \(\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{32}-1\).

(5p) 2. Fie funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f(x)=2+x\). Calculaţi \(f({{3}^{0}})+f({{3}^{1}})+f({{3}^{2}})+...+f({{3}^{10}})\).

(5p) 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia \(\sqrt{x+3}=5-x\).

(5p) 4. Determinaţi numărul permutărilor mulţimii \(\{1,2,3,4,5\}\).

(5p) 5. Fie M,N,P,Q patru puncte coplanare în această ordine. Calculaţi \(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{PN}-\overrightarrow{MQ}\).

(5p) 6. Calculaţi \(\sin {{45}^{0}}\cdot \cos {{30}^{0}}\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Considerăm determinantul \(\Delta (x.y)=\left| \begin{matrix} x & y & 1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right|\), unde \(x,y\in \mathbb{R}\).

(5p) a)Calculaţi \(\Delta (1;-1)\).

(5p) b) Determinaţi \(x,y\in \mathbb{R}\)ştiind că \(x+y=-6\) şi \(\Delta (x,y)=7\).

(5p) c) Arătaţi că \(\Delta (x,x)\ne 0,\forall x\in \mathbb{Z}\).

2. Fie polinomul \(f={{X}^{3}}+a{{X}^{2}}+aX+a-6,a\in \mathbb{R}\)şi \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\)rădăcinile sale.

(5p) a) Determinaţi valoarea reală a lui a pentru care polinomul f se divide cu polinomul X – 2.

(5p) b) Determinaţi valorile reale ale lui a pentru care \(3{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}-2({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}})=3\).

(5p) c) Pentru a = 6 să se descompună polinomul f  in factori ireductibili în \(\mathbb{R}\left[ X \right]\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia \(f:{{\mathbb{R}}^{*}}-\{2\}\to \mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}-2x}\).

(5p) a) Determinaţi asimptotele verticale ale lui funcţiei f.

(5p) b) Calculaţi \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\).

(5p) c) Să se determine punctele de extrem ale funcţiei f.

2. Fie funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f(x)=1-{{x}^{3}}\).

(5p) a) Calculaţi aria suprafeţei mărginite de graficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele de ecuaţii \(x=1,x=2\).

(5p) b) Calculaţi \(\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{5}}\cdot f(x)dx}\).

(5p) c) Calculaţi \(\int\limits_{0}^{1}{x\cdot {f}''(x)dx}\).