Varianta 62

Prof: PODUMNEACĂ DANIELA

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Într-o progresie aritmetică \({{({{a}_{n}})}_{n\ge 1}}\) se cunosc \({{a}_{2}}=-1\) şi \({{a}_{6}}=-17\). Calculaţi \({{a}_{10}}\).

(5p) 2. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia \({{\log }_{4}}(x+2)-{{\log }_{4}}(x-6)=1\).

(5p) 3. Determinaţi coordonatele vârfului parabolei funcţiei \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f(x)=-2{{x}^{2}}+3x+1\).

(5p) 4. Determinaţi \(n\in \mathbb{N},n\ge 3\)pentru care are loc relaţia \(C_{n}^{3}=2\cdot A_{n}^{2}\).

(5p) 5. În planul xOy se consideră punctele A(2;-3) şi B(-1;m), unde \(m\in \mathbb{R}\). Determinaţi valorile lui m pentru care AB = 3.

(5p) 6. Calculaţi \(tg{{45}^{0}}-2\cos {{180}^{0}}\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră punctele \({{A}_{n}}({{2}^{n}},{{n}^{2}}),n\in \mathbb{N}\).

(5p) a) Să se determine ecuaţia dreptei \({{A}_{0}}{{A}_{2}}\).

(5p) b) Demonstraţi că punctele \({{A}_{0}},{{A}_{1}},{{A}_{2}}\)nu sunt coliniare.

(5p) c) Arătaţi că pentru orice număr natural n punctele \({{A}_{n}},{{A}_{n+1}},{{A}_{n+2}}\)nu sunt coliniare.

2. Pe mulţimea \(\mathbb{R}\)se defineşte legea de compoziţie \(x\circ y=xy-5(x+y)+30\).

(5p) a) Arătaţi că \(x\circ y=(x-5)(y-5)+5\), \(\forall x,y\in \mathbb{R}\).

(5p) b) Determinaţi elementul neutru al legii \(''\circ ''\).

(5p) c) Ştiind că legea \(''\circ ''\) este asociativă calculaţi \((-2012)\circ (-2011)\circ ...\circ 2011\circ 2012\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:(0,\infty )\to \mathbb{R}\), \(f(x)=\ln x+{{3}^{x}}\).

(5p) a) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul A(1;3).

(5p) b) Calculaţi \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x+3}\).

(5p) c) Arătaţi că funcţia f este crescătoare oricare ar fi \(x\in (0,\infty )\).

2. Se consideră funcţia \(f:(0,\infty )\to \mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+5}\).

(5p) a) Calculaţi \(\int\limits_{1}^{e}{(f(x)-\frac{1}{x+3})dx}\).

(5p) b) Calculaţi \(\int\limits_{1}^{2}{{f}'(x)dx}\).

(5p) c) Calculaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei \(g:[1;2]\to \mathbb{R}\), unde \(g(x)=f(x)-\frac{1}{x+5}\).