Varianta 62

Prof: PODUMNEACĂ DANIELA

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Într-o progresie aritmetică ${{({{a}_{n}})}_{n\ge 1}}$ se cunosc ${{a}_{2}}=-1$ şi ${{a}_{6}}=-17$. Calculaţi ${{a}_{10}}$.

(5p) 2. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ${{\log }_{4}}(x+2)-{{\log }_{4}}(x-6)=1$.

(5p) 3. Determinaţi coordonatele vârfului parabolei funcţiei $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2{{x}^{2}}+3x+1$.

(5p) 4. Determinaţi $n\in \mathbb{N},n\ge 3$pentru care are loc relaţia $C_{n}^{3}=2\cdot A_{n}^{2}$.

(5p) 5. În planul xOy se consideră punctele A(2;-3) şi B(-1;m), unde $m\in \mathbb{R}$. Determinaţi valorile lui m pentru care AB = 3.

(5p) 6. Calculaţi $tg{{45}^{0}}-2\cos {{180}^{0}}$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră punctele ${{A}_{n}}({{2}^{n}},{{n}^{2}}),n\in \mathbb{N}$.

(5p) a) Să se determine ecuaţia dreptei ${{A}_{0}}{{A}_{2}}$.

(5p) b) Demonstraţi că punctele ${{A}_{0}},{{A}_{1}},{{A}_{2}}$nu sunt coliniare.

(5p) c) Arătaţi că pentru orice număr natural n punctele ${{A}_{n}},{{A}_{n+1}},{{A}_{n+2}}$nu sunt coliniare.

2. Pe mulţimea $\mathbb{R}$se defineşte legea de compoziţie $x\circ y=xy-5(x+y)+30$.

(5p) a) Arătaţi că $x\circ y=(x-5)(y-5)+5$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$.

(5p) b) Determinaţi elementul neutru al legii $''\circ ''$.

(5p) c) Ştiind că legea $''\circ ''$ este asociativă calculaţi $(-2012)\circ (-2011)\circ ...\circ 2011\circ 2012$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia $f:(0,\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x+{{3}^{x}}$.

(5p) a) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul A(1;3).

(5p) b) Calculaţi $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x+3}$.

(5p) c) Arătaţi că funcţia f este crescătoare oricare ar fi $x\in (0,\infty )$.

2. Se consideră funcţia $f:(0,\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+5}$.

(5p) a) Calculaţi $\int\limits_{1}^{e}{(f(x)-\frac{1}{x+3})dx}$.

(5p) b) Calculaţi $\int\limits_{1}^{2}{{f}'(x)dx}$.

(5p) c) Calculaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei $g:[1;2]\to \mathbb{R}$, unde $g(x)=f(x)-\frac{1}{x+5}$.