Prof: PODUMNEACĂ DANIELA

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Determinaţi numerele naturale n, \(n>1\) pentru care \({{\log }_{n}}32\in \mathbb{N}\)

(5p) 2. Determinaţi \(a\in \mathbb{R}\) ştiind că maximul funcţiei \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f(x)=-2{{x}^{2}}+3x+a\)este egal cu \(\frac{1}{8}\).

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia \({{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x-2}}={{\left( \frac{9}{25} \right)}^{3-x}}\).

(5p) 4. După o scumpire cu 12% un produs costă 3920 lei. Să se determine preţul iniţial al produsului.

(5p) 5. Să se calculeze raportul dintre patratul laturii unui triunghi echilateral şi aria sa.

(5p) 6. În triunghiul ABC se cunosc laturile AB = 4, \(AC=2\sqrt{2}\)şi \(BC=3\sqrt{3}\). Să se calculeze cosA.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.În \({{M}_{2}}(\mathbb{R})\) se consideră matricele \(A(x)=\left( \begin{matrix} 2x-\sqrt{3} & 2x \\ 2x & 2x+\sqrt{3} \\ \end{matrix} \right),x\in \mathbb{R}\).

(5p) a) Să se arate că detA(x) nu depinde de x.

(5p) b) Să se verifice că \(A(x)\cdot A(x)=4x\cdot A(x)+3{{I}_{2}}\),\(\forall x\in \mathbb{R}\).

(5p) c) Calculaţi \({{A}^{2}}(2)-8A(2)\).

2. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legile de compoziţie: \(x\circ y=x+y-4\) şi \(x\bot y=xy+x+y+1\).

(5p) a) Să se stabilească daca legea \(''\circ ''\)este asociativă.

(5p) b) Să se calculeze \((2\bot 3)\circ (4\bot 5)\).

(5p) c) Să se rezolve ecuaţia \((x\bot x)\circ (3-2x)=5\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:D\to \mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{x-5}{{{x}^{2}}-4x+5a}\), unde \(a\in \mathbb{R}\)şi D este domeniul maxim de definiţie al funcţiei f.

(5p) a) Să se determine \(a\in \mathbb{R}\), astfel încât f să admită o singură asimptotă verticală.

(5p) b) Pentru \(a=\frac{4}{5}\)să se calculeze \({f}'(x),x\in \mathbb{R}-\{2\}\).

(5p) c) Dacă \(a=\frac{4}{5}\) să se studieze monotonia funcţiei f pe intervalul \((8,\infty )\).

2. Considerăm funcţiile \(f,g:(4,\infty )\to \mathbb{R}\), \(f(x)=\sqrt{2x-7}\) şi \(g(x)=\frac{1}{\sqrt{2x-7}}\) .

(5p) a) Arătaţi că f este o primitivă a funcţiei g.

(5p) b) Calculaţi \(\int_{4}^{5}{g(x)dx}\).

(5p) c) Să se calculeze volumul corpului de rotaţie determinat de funcţia \(h:[4;6]\to \mathbb{R}\), \(h(x)=f(x)\).