Prof: RICU ILEANA

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Sa se arate ca numarul  \(A={{100}^{\lg 2}}+\sqrt[3]{-27}\)este natural.                            

(5p) 2. Să se rezolve ecuaţia iraţională \(\sqrt{1-{{x}^{2}}}+x=1\).

(5p) 3. Determinaţi expresia analitică a funcţiei de gradul al doilea \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) ,f (x) = ax² + 4x + c , ştiind că graficul ei taie axa Oy în punctul 1 şi are abscisa vârfului \(-\frac{2}{3}\).

(5p) 4. În planul xOy se consideră punctele A,B,C ale căror afixe sunt respectiv a=2, b=1-i, c=1+i.

Arătaţi că \(\vartriangle ABC\)este dreptunghic isoscel.

(5p) 5. În reperul cartezian ortogonal (O;\(\overset{\to }{\mathop{i}}\,\);\(\overset{\to }{\mathop{j}}\,\)) se consideră vectorii: \(\overset{\to }{\mathop{a}}\,\)= 4\(\overset{\to }{\mathop{i}}\,\) + (m + 1)\(\overset{\to }{\mathop{j}}\,\) şi

\(\overset{\to }{\mathop{b}}\,\)= (m - 1)\(\overset{\to }{\mathop{i}}\,\) + 2\(\overset{\to }{\mathop{j}}\,\).Să se determine m\(\in \)R, pentru care \(\overset{\to }{\mathop{a}}\,\) şi \(\overset{\to }{\mathop{b}}\,\) sunt coliniari.

(5p) 6. Să se scrie ecuaţia dreptei care trece prin punctul A(2;6) şi face un unghi de 30^˚cu axa Ox.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră matricea \(A=\left( \begin{matrix} 2 & 6 \\ 1 & 3 \\ \end{matrix} \right)\)

(5p) a) Să se verifice că \({{A}^{2}}=5A\).

(5p) b) Să se demonstreze că \({{A}^{n}}={{5}^{n-1}}\cdot A,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\)

(5p) c) Să se arate că matricea \(A-{{A}^{2}}+{{A}^{3}}-..........+{{\left( -1 \right)}^{99}}{{A}^{100}}\) are toate elementele strict negative.

2.Pe mulţimea\(\mathbb{R}\) se defineste legea de compoziţie \(,,\circ ''\)definită prin \(x\circ y=2xy-6x-6y+21,\forall x,y\in \mathbb{R}\)

(5p) a) Arătaţi că \(x\circ y=2\left( x-3 \right)\left( y-3 \right)+3,\forall x,y\in \mathbb{R}\)

(5p) b) Arătaţi că legea de compoziţie este asociativă.

(5p) c) Stabiliţi valoarea de adevăr a afirmaţiei ,,ecuaţia \(\underbrace{x\circ x\circ ........\circ x}_{de2012ori}=3\)are în \(\mathbb{R}\) o infinitate de soluţii”

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{e}^{x}}\left( 4-{{e}^{x}} \right)\)

(5p) a) Arătaţi că \({f}'\left( x \right)=2{{e}^{x}}\left( 2-{{e}^{x}} \right)\)

(5p) b) Calculaţi coordonatele punctului P ştiind că tangenta la curba C lui f  în punctul P este paralelă cu axa abscicelor.

(5p) c) Arătaţi că \(f\left( x \right)\le 4,\forall x\in \mathbb{R}\)

2. Se consideră funcţiile \({{f}_{n}}:\left( 0;+\infty \right)\to \mathbb{R},{{f}_{n}}\left( x \right)=\frac{{{\left( \ln x \right)}^{n}}}{{{x}^{2}}},n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\),.

(5p)     a) Să se demonstreze că \({{f}_{1}}\left( x \right)-{{f}_{2}}\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left[ 1;e \right]\).

(5p)     b)Să se determine aria suprafeţei plane mărginită de graficele funcţiilor f₁ şi f₂ şi dreptele de ecuaţii x=1,respectiv x=e .

(5p)     c) Să se determine volumul corpului de rotaţie C_g ,determinat de funcţia \(g\left( x \right)=x\sqrt{x}\left[ {{f}_{1}}\left( x \right)-{{f}_{2}}\left( x \right) \right],x\in \left[ 1;e \right]\)