Varianta 67

Prof: Szöcs  Ana

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se demonstreze că \({{\log }_{4}}3\cdot {{\log }_{5}}4\cdot {{\log }_{6}}5\cdot {{\log }_{7}}6\cdot {{\log }_{8}}7\cdot {{\log }_{9}}8=\frac{1}{2}\)

(5p) 2. Fie funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\left( 3+2m \right)x+5m-5,m\in \mathbb{R}\). Să se determine m astfel încât graficul funcţiei f să fie paralel cu axa Ox

(5p) 3. Să se determine \(m\in {{\mathbb{R}}^{*}}\) pentru care rădăcinile ecuaţiei \(m{{x}^{2}}+\left( 1-m \right)x-2m=0\) să verifice relaţia  \({{x}_{1}}{{x}_{2}}=3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\)

(5p) 4. Pentru a fi selectat în lotul şcolii un elev trebuie să evolueze la 6 probe din cele 9 care sunt în concurs. Câte posibilităţi de alegere are?

(5p) 5. În triunghiul ABC, \(\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}\) şi \(\overrightarrow{AC}=5\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}\).Să se determine coordonatele vectorului \(\overrightarrow{BC}\)

(5p) 6. Să se determine lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei în triunghiul ABC cu \(m\left( \prec A \right)={{90}^{0}},m\left( \prec C \right)={{60}^{0}}\)şi AC= 4.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se dă sistemul \(\left\{ \begin{align} & x+y+z=1 \\ & 2x+y-2z=2 \\ & x-y+2z=a \\ \end{align} \right.\), unde \(a\in \mathbb{R}\)

(5p) a) Să se calculeze determinantul matricei sistemului.

(5p) b) Pentru a =1, să se rezolve sistemul.

(5p) c) Să se determine \(a\in \mathbb{R}\)astfel încât soluţia sistemului să verifice relaţia x-y-z=0

2. Fie polinomul\(f,g\in {{\mathbb{Z}}_{5}}\left[ x \right],f={{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+x+\overset{\wedge }{\mathop{1}}\,,g=x+\overset{\wedge }{\mathop{1}}\,,m\in {{\mathbb{Z}}_{5}}\)

(5p) a) Să se determine \(m\in {{\mathbb{Z}}_{5}}\) pentru care polinomul f este divizibil cu polinomul g

(5p) b) Pentru m=\(\overset{\wedge }{\mathop{1}}\,\) , să se descompună polinomul f în produs de factori ireductibili.

(5p) c) Dacă \(d\in {{\mathbb{Z}}_{5}}\left[ x \right]\) este c.m.m.d.c. al polinoamelor \(g\in {{\mathbb{Z}}_{5}}\left[ x \right],g={{x}^{2}}+\overset{\wedge }{\mathop{3}}\,x\) şi f, pentru m=\(\overset{\wedge }{\mathop{1}}\,\), să se rezolve ecuaţia \(d\left( x \right)=\overset{\wedge }{\mathop{0}}\,\)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:D\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+12x+5}{{{x}^{2}}+7x+10}\)

(5p) a) Să se afle determine domeniul de definiţie al funcţiei  f.

(5p) b) Să se afle constantele reale a,b,c,d pentru care \(f\left( x \right)=ax+b+\frac{cx+d}{{{x}^{2}}+7x+10}\), \(x\in D\)

(5p) c) Să se calculeze asimptota oblică la graficul funcţiei f spre + \(\infty \)

2. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \frac{x+1}{2},x<0 \\ & \frac{1}{x+2}-\sqrt{x},x\ge 0 \\ \end{align} \right.\)

(5p) a) Să se demonstreze că funcţia f admite primitive pe \(\mathbb{R}\)

(5p) b) Să se calculeze \(\int\limits_{-1}^{1}{f\left( f \right)dx}\)

(5p) c) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinsă între graficul funcţiei \(g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},g\left( x \right)=-xf\left( {{x}^{2}} \right)\), axa Ox şi dreptele de ecuaţii x=1 şi x=2.