Varianta 1

Prof: Andone Elena

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Determinaţi a 2012-a zecimală a numărului $\frac{1}{63}$ .

(5p) 2. Fie funcţia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\frac{1}{2}x-4$. Calculaţi $(f\circ f)(2)$.

5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia $5\cdot {{9}^{x}}-2\cdot {{3}^{x}}-3$=0

(5p) 4. În câte moduri pot fi aranjate 6 cărţi pe un raft?

(5p) 5. Aflaţi panta dreptei care trece prin punctele A(2,4) şi B(-1,0)

(5p) 6. Aflaţi raza cercului circumscris unui triunghi dreptunghic ce are catetele 8 cm respectiv  6 cm.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea $A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

(5p) a) Arătaţi că ${{A}^{2}}-2A+5{{I}_{2}}={{O}_{2}}$

(5p) b) Verificaţi dacă matricea A este inversabilă şi, în caz afirmativ, aflaţi inversa matricei A.

(5p) c) Calculaţi (A-I₂)ⁿ, n număr natural.

2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte următoarea lege de compoziţie: x$\circ$y=xy-x-y+7

(5p) a) Arătaţi că x$\circ$y=(x-1)(y-1)+6

(5p) b) Verificaţi dacă egalitatea x$\circ$ (y$\circ$z)=(x$\circ$y) $\circ$ z, este adevărată pentru oricare x, y, z  numerele reale

(5p) c) Rezolvaţi ecuaţia x$\circ$x=31.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie $f:\mathbb{R}-\{1\}\to \mathbb{R},f(x)=\frac{{{x}^{2}}}{x-1}$

(5p) a) Studiaţi existenţa asimptotelor la$\infty$ la graficul funcţiei f;

(5p) b) Studiaţi monotonia funcţiei f;

(5p) c) Arătaţi că funcţia f este concavă pe intervalul $(-\infty ,1)$

(5p) a) Arătaţi că funcţia f admite primitive pe mulţimea numerelor reale.

(5p) b) Determinaţi primitiva funcţiei f , al cărei grafic trece prin punctul de coordonate (1,0)

(5p) c) Calculaţi $\int\limits_{-2}^{3}{f(x)dx}$