Varianta 12

Prof. Badea Daniela

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Fie progresia aritmetică ${{\left( {{a}_{n}} \right)}_{n\in {{\mathbb{N}}^{*}}}}\text{cu }{{a}_{2}}=-12,\text{ }{{a}_{3}}=-9.$Determinaţi $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$astfel încât suma primilor n termeni să fie zero.

(5p) 2. Determinaţi elementele mulţimii $A=\left\{ x\in \mathbb{N}|\frac{{{x}^{2}}-7}{x-1}\le 1 \right\}.$

(5p) 3. Rezolvaţi în $\mathbb{R}$ecuaţia ${{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x+1}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{1-x}}=\frac{13}{9}$.

(5p) 4. Câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele 0,1,2,3,4?

(5p) 5. Fie punctele A(3,0), B(-2,-2), C(2,2). Scrieţi ecuaţia dreptei determinată de mijloacele laturilor (CA) şi (CB).

(5p) 6. Aflaţi raza cercului înscris în triunghiul ABC, de laturi 5, 6 şi 7.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie $a,b,c\in {{\mathbb{R}}^{*}}$distincte între ele şi sistemul $\left( S \right)\left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}x+ay-z={{a}^{3}} \\ & {{b}^{2}}x+by-z={{b}^{3}} \\ & {{c}^{2}}x+cy-z={{c}^{3}} \\ \end{align} \right.$

(5p) a) Calculaţi determinantul matricei A ataşată sistemului (S):

(5p) b) Rezolvaţi sistemul (S);

(5p) c) Dacă$\left( x,y,z \right)$este soluţia sistemului aflaţi soluţiile ecuaţiei ${{t}^{3}}-x{{t}^{2}}-yt+z=0.$

2. Fie polinoamele $f,g\in \mathbb{R}\left[ X \right],f={{\left( 2X+5 \right)}^{2012}}+4X+10\text{ i }g={{X}^{2}}+5X+6$.

(5p) a) Arătaţi că suma coeficienţilor polinomului f este un număr întreg divizibil cu 7;

(5p) b) Determinaţi restul împărţirii lui f la g;

(5p) c) Calculaţi suma $S=\frac{1}{g\left( 0 \right)}+\frac{1}{g\left( 1 \right)}+\frac{1}{g\left( 2 \right)}+....+\frac{1}{g\left( 2013 \right)}$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia $f:\left[ 0,1 \right]\to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)={{e}^{2x}}+{{x}^{2}}-2.$

(5p) a) Să se studieze monotonia funcţiei f ;

(5p) b) Să se demonstreze că funcţia f are o singură rădăcină în intervalul (0, 1);

(5p) c) Să se demonstreze prin inducţie matematică $\text{ }{{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right)={{2}^{n}}{{e}^{2x}},\text{ }\left( \forall  \right)n\in \mathbb{N},n\ge 3$.

2. Fie funcţia $f:\left[ 0,\infty \right)\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}$.

(5p) a) Calculaţi $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\int\limits_{0}^{x}{f\left( t \right)dt}}{{{x}^{3}}}$;

(5p) b) Dacă $h:\left[ 0,\infty  \right)\to \mathbb{R},h\left( x \right)=\frac{x}{f\left( x \right)}$, determinaţi primitiva $H:\left[ 0,\infty  \right)\to \mathbb{R}$ a funcţiei h astfel încât $H\left( 0 \right)=-1$;

(5p) c) Calculaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia, în jurul axei Ox, a graficului funcţiei  f  pentru $x\in \left[ 0,1 \right]$.