Prof: Dogaru Ion
SUBIECTUL I ( 30 de puncte)
5p 1. Calculaţi (1+i)2012−(1−i)2012.
5p 2. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 9x−10⋅3x−1+1=0.
5p 3. Fie (an)n≥1o progresie aritmeticǎ. Știind cǎ a6 + a16 = 2012, calculaţi a3 + a19 .
5p 4. Sǎ se determine valorile naturale ale numǎrului n astfel încât C1n+1+C2n+1=36.
5p 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se considerǎ punctele A(3,-2), B(-5,4). Sǎ se determine ecuaţia mediatoarei segmentului [AB].
5p 6. În mulţimea [0,2π] rezolvaţi ecuaţia sin2x−cos2x=cosx.
SUBIECTUL II ( 30 de puncte)
- Pentru fiecare t∈(0,+∞) se considerǎ matricea H(t) = (1lnt001000t).
5p a) Sǎ se calculeze,în raport cu t > 0, rangul matricei adjuncte H*(t);
5p b) Arǎtaţi cǎ H(x)⋅H(y) = H(xy); ∀x,y∈(0,+∞) ;
5p c) Calculaţi determinantul matricei H(1)+H(2)+H(3)+….+H(10).
- Se considerǎ operaţia x∗y=xy−2(x+y)+6,∀x,y∈Rşi mulţimea G = ( 2, +∞).
5p a) Arǎtaţi cǎ G este parte stabilǎ faţǎ de legea de compoziţie ∗.
5p b) Sǎ se determine elementele simetrizabile ale mulţimii G în raport cu legea de compoziţie ∗;
5p c) Știind cǎ legea de compoziţie ∗ este asociativǎ, sǎ se calculeze 12∗23∗⋅⋅⋅∗89
SUBIECTUL III ( 30 de puncte)
- Se considerǎ funcţia f : R→R, f(x) = x2012 + 2012(x – 1) – 1.
5p a) Sǎ se calculeze f(1)+f′(0);
5p b) Sǎ se determine ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f, în punctul de abscisǎ x0 = 1;
5p c) Arǎtaţi cǎ funcţia f este convexǎ pe R.
- Se considerǎ funcţia f : R→R, f(x) = (x + 1)3 – 3x2 – 1 .
5p a) Sǎ se calculeze ∫10f(x)dx;
5p b) Sǎ se calculeze ∫1−1f5(x)dx;
5p c) Sǎ se calculeze limx→∞∫x0f(t−1)dtx4;