Varianta 32

Prof: IVĂNESCU-GLIGA LILIANA.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Determinaţi valorile reale ale lui x pentru care $\left| x \right|-x=3$.

(5p) 2. Fie funcţia$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$,$f\left( x \right)$= x² + x – 6. Sǎ se calculeze suma cuburilor soluţiilor ecuaţiei $f\left( x \right)$= 0.

(5p) 3. Sǎ se calculeze expresia E =$\frac{A_{6}^{5}-A_{6}^{4}}{A_{5}^{4}-A_{5}^{3}}$. 

(5p) 4. Care este probabilitatea ca alegând un element din mulţimea ${{\mathbb{Z}}_{5}}$acesta sa fie soluţie a ecuaţiei x² = $\widehat{2}$?

(5p) 5. Fie punctele A(-5, 0), B(-2, 2) şi  M mijlocul segmentului AB în reperul (O,$\vec{i}$,$\vec{j}$). Sǎ se determine coordonatele vectorilor: $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{OM}$.

(5p) 6. Sǎ se determine aria triunghiului ABC dacǎ BC = 12 şi $m\left( \widehat{B} \right)=m\left( \widehat{C} \right)={{30}^{\circ }}$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie matricea A =$\left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & m \\ \end{matrix} \right)$, m$\in \mathbb{R}$.

(5p) a) Sǎ se calculeze suma S = ${{a}_{12}}{{a}_{21}}-{{a}_{11}}{{a}_{22}}$.

(5p) b) Sǎ se gǎseascǎ valoarea parametrului real m astfel încât A^{– 1} = –A*.

(5p) c) Pentru m = –1 sǎ se calculeze A^{– 1}.

2. Fie polinomul$f$= X⁴ – 6X² + 8,$f$$\in \mathbb{R}$[X].

(5p) a) Sǎ se arate cǎ polinomul$f$este divizibil cu X + 2.

(5p) b) Sǎ se descompunǎ$f$în polinoame ireductibile în$\mathbb{Q}$[X].

(5p) c) Sǎ se determine rǎdǎcinile reale ale polinomului$f$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$,$f\left( x \right)=x\cdot {{e}^{-x}}$.

(5p) a) Sǎ se determine numǎrul real${f}'$(0).

(5p) b) Sǎ se determine$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$.

(5p) c) Sǎ se determine numǎrul punctelor de inflexiune ale funcţiei$f$.

2. Fie funcţia$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$,$f\left( x \right)={{2}^{x}}+{{x}^{2}}+{{e}^{x}}$.

(5p) a) Sǎ se determine o primitivǎ F₁ a functiei$f$care verificǎ relaţia F₁(0) = 1.

(5p) b) Sǎ se calculeze$\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx$.