Prof: IVĂNESCU-GLIGA LILIANA.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Fie funcţiaf:R→R,f(x)= (m – 1)x2 + (m – 1)x – m + 2, m∈R– {1}. Pentru ce valori reale ale lui m ecuaţiaf(x)= 0 are soluţii reale şi egale?
(5p) 2. Sǎ se gǎseasca elementele mulţimii A = {x∈N|2x2−xx2+x+1>2}.
(5p) 3. Sǎ se determine al patrulea termen din dezvoltarea (x2+1x2)6.
(5p) 4. Sǎ se determine soluţiile reale ale ecuaţiei x4 – 10x2 + 9 = 0.
(5p) 5. Fie punctele A(1, 2), B(5, 1) şi dreapta d: x + ay – 1 = 0, a∈R*. Sǎ se gǎseascǎ valoarea realǎ a lui a dacǎ dreptele AB şi d sunt paralele.
(5p) 6. În triunghiul ABC se cunosc AC = 5, AB = 7 şi m(^BAC)= 600. Sǎ se calculeze lungimea laturii BC.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
- Fie sistemul de ecuaţii {mx+my−z=03x−2y+2z=52x+2y−2z=2,m∈R.
(5p) a) Sǎ se calculeze determinantul d asociat matricei coeficienţilor sistemului.
(5p) b) Sǎ se determine valoarea lui m astfel încât sistemul sǎ fie de tip Cramer.
(5p) c) Pentru m = 2 sǎ se rezolve sistemul.
- Fie grupul abelian (R,∘) înzestrat cu legea de compoziţie x∘y=x+y−1.
(5p) a) Sǎ se rezolve înRecuaţia 2x∘1=16.
(5p) b) Sǎ se determine2′, simetricul lui 2 în aceastǎ lege.
(5p) c) Sǎ se verifice cǎ inecuaţia x∘x2≤1are soluţia [-2; 1].
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
- Fie funcţiaf:R→R,f(x)=2x3−3x.
(5p) a) Sǎ se calculezelimx→0f(x)−f(0)x.
(5p) b) Sǎ se studieze monotonia funcţieif.
(5p) c) Sǎ se determine rǎdǎcinile reale ale ecuaţieif(x)−f′(x)+f″(x)=30.
- Fie funcţiaf:(0,∞)→R,f(x)=x2⋅lnx.
(5p) a) Sǎ se calculeze ∫f(x)x2dx, x > 0.
(5p) b) Sǎ se arate cǎ e∫1f(x)x3dx>0.
(5p) c) Sǎ se verifice cǎ 4∫25f(x2)lnxdx = 26(25 – 1).