Prof: IVĂNESCU-GLIGA LILIANA.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Fie funcţia$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$,$f\left( x \right)$= (m – 1)x² + (m – 1)x – m + 2, m$\in \mathbb{R}$– {1}. Pentru ce         valori reale ale lui m ecuaţia$f\left( x \right)$= 0 are soluţii reale şi egale?

(5p) 2. Sǎ se gǎseasca elementele mulţimii A = $\left\{ x\in \mathbb{N}\left| \frac{2{{x}^{2}}-x}{{{x}^{2}}+x+1}>2 \right. \right\}$.

(5p) 3. Sǎ se determine al patrulea termen din dezvoltarea ${{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{6}}$.

(5p) 4. Sǎ se determine soluţiile reale ale ecuaţiei x⁴ – 10x² + 9 = 0.

(5p) 5. Fie punctele A(1, 2), B(5, 1) şi dreapta d: x + ay – 1 = 0, a$\in \mathbb{R}$^*. Sǎ se gǎseascǎ valoarea realǎ a lui a dacǎ dreptele AB şi d sunt paralele.

(5p) 6. În triunghiul ABC se cunosc AC = 5, AB = 7 şi m$\left( \widehat{BAC} \right)$= 60⁰. Sǎ se calculeze lungimea laturii BC.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie sistemul de ecuaţii $\left\{ \begin{align} & mx+my-z=0 \\ & 3x-2y+2z=5 \\ & 2x+2y-2z=2 \\ \end{align} \right.,m\in \mathbb{R}$.

(5p) a) Sǎ se calculeze determinantul d asociat matricei coeficienţilor sistemului.

(5p) b) Sǎ se determine valoarea lui m astfel încât sistemul sǎ fie de tip Cramer.

(5p) c) Pentru m = 2 sǎ se rezolve sistemul.

2. Fie grupul abelian ($\mathbb{R}$,$\circ$) înzestrat cu legea de compoziţie $x\circ y=x+y-1$.

(5p) a) Sǎ se rezolve în$\mathbb{R}$ecuaţia ${{2}^{x}}\circ 1=16$.

(5p) b) Sǎ se determine${2}'$, simetricul lui 2 în aceastǎ lege.

(5p) c) Sǎ se verifice cǎ inecuaţia $x\circ {{x}^{2}}\le 1$are soluţia [-2; 1].

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$,$f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3x$.

(5p) a) Sǎ se calculeze$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x}$.

(5p) b) Sǎ se studieze monotonia funcţiei$f$.

(5p) c) Sǎ se determine rǎdǎcinile reale ale ecuaţiei$f\left( x \right)-{f}'\left( x \right)+{f}''\left( x \right)=30$.

2. Fie funcţia$f:\left( 0,\infty \right)\to \mathbb{R}$,$f\left( x \right)={{x}^{2}}\cdot \ln x$.

(5p) a) Sǎ se calculeze $\int{\frac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}}dx$, x > 0.

(5p) b) Sǎ se arate cǎ $\int\limits_{1}^{e}{\frac{f\left( x \right)}{{{x}^{3}}}}dx>0$.

(5p) c) Sǎ se verifice cǎ $\int\limits_{2}^{4}{\frac{5f\left( {{x}^{2}} \right)}{\ln x}}dx$ = 2⁶(2⁵ – 1).