Varianta 37

Prof:LEFTERIU IOANA.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se rezolve în $\mathbb{Z}$ sistemul: $\left\{ \begin{matrix} x+y=4 \\ x\cdot y=-32 \\ \end{matrix} \right.x,y\in \mathbb{Z}$

(5p) 2. Fie mulţimea:$A=\left\{ 3,8,13,18,\ldots ,98 \right\}$.Aflaţi numrul elementelor mulţimii A.

(5p) 3. Să se calculeze:$\log _{5}^{\left( 2+\sqrt{3} \right)}+\log _{5}^{\left( 2-\sqrt{3} \right)}$

(5p) 4. Rezolvaţi ecuţia $A_{n}^{3}=6n$,unde $n\in N,n\ge 3.$

(5p) 5. Se consideră rombul ABCD,iar O este punctul de intersecţie al diagonalelor sale.Să se calculeze:$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$.

(5p) 6. Să se calculeze:S=${{\sin }^{2}}{{60}^{\circ }}+{{\cos }^{2}}{{120}^{\circ }}$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră sistemul: $\left( S \right)=\left\{ \begin{matrix} x+my-2z=1 \\ -x+y+2z=-5 \\ \left( m-1 \right)x-y+3z=-1 \\ \end{matrix},m\in R \right.$ Notăm cu A ,matricea sistemului(S)

(5p) a) Să se determine $m\in R$,astfel încât det(A) = 1.

(5p) b) Să se determine $m\in R$,pentru ca sistemul să admită soluţie unică.

(5p) c) Pentru m = 1,să se rezolve sistemul (S).

2. Se consideră polinomul:$f={{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-15x-2m$,cu ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},$rădăcinile polinomului f.

(5p) a) Să se determine $m\in R$,astfel încât polinomul f sa fie divizibil prin g = x-2.

(5p) b) Să se determine $m\in R$, astfel încât $f\left( \sqrt{3} \right)=0$.

(5p) c) Pentru m = 1,calculaţi:$S=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se dă funcţia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\left\{ \begin{matrix} {{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+7x+1+a,x>0 \\ x{{e}^{x}}+2x-2{{e}^{x}},x\le 0 \\ \end{matrix} \right.$.

(5p) a) Să se determine $a\in \mathbb{R}$,pentru care funcţia este continua în ${{x}_{0}}=0$.

(5p) b) Pentru a = -3,să se scrie ecuaţia tangentei în punctul de abscisă ${{x}_{0}}=2$,situat pe graficul funcţiei f.

(5p) c) Să se determine monotonia funcţiei f pentru $x\in \left( 0,\infty  \right)$.

2. se consideră funcţiile ${{f}_{m}}:\left[ 0,1 \right]\to \mathbb{R},{{f}_{m}}\left( x \right)=\left( {{m}^{2}}+m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 2{{m}^{2}}-m+3 \right)x+4,$unde $m\in \mathbb{R}$

(5p) a) Să se calculeze $\int{{{f}_{1}}}(x)dx$.

(5p) b) Să se calculeze $\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}{{f}_{0}}\left( x \right)dx}$.

(5p) c) Să se determine $m\in {{\mathbb{R}}^{*}}$,astfel încât$\int\limits_{0}^{1}{{{f}_{m}}\left( x \right)dx=\frac{35}{6}}$.