Varianta 40

Prof: Viorica Lungana

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Determinați mulțimea de adevăr pentru predicatul p(x): „$x\in \mathbb{Z},{{x}^{2}}-5x+6=0$‟

(5p) 2. Să se găsească primul termen al unei progresii aritmetice ${{\left( {{a}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}$, dacă ${{a}_{10}}=131$ și  $r=12$.

(5p) 3. Știind că $\lg 2=A$ și $\lg 3=B$, exprimați, în funcție de A și B, numărul $\lg 288$.

(5p) 4. Rezolvați, în $\mathbb{N}$, ecuația: $\frac{n!}{\left( n-2 \right)!}=2$.

(5p) 5. Fie punctele $A\left( -3,4 \right)$, $B\left( 0,1 \right)$ și $C\left( 7,5 \right)$. Aflați coordonatele vectorului $\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$.

(5p) 6. Fie $f\left( x \right)=\sin x+\cos x$. Arătați că $f\left( \frac{\pi }{6} \right)=f\left( \frac{\pi }{3} \right)$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $A,B,X,Y\in$M3($\mathbb{R}$), unde $A=\left( \begin{matrix} -1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \\ \end{matrix} \right)$, $B=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \\ \end{matrix} \right)$. Fie sistemul $\left\{ \begin{matrix} 2X+3Y=A \\ X+2Y=B \\ \end{matrix} \right.$.

(5p) a) Determinați soluțiile $X,Y$ale sistemului.

(5p) b) Arătați că $X+Y=A-B$.

(5p) c) Arătați că $\det \left( X+Y \right)$ este un număr natural.

2. Fie mulțimea $G=\left( 5,\infty \right)$ și legea $x*y=xy-5x-5y+30$.

(5p) a) Arătați că legea este asociativă.

(5p) b) Determinați elementul neutru al legii și elementele inversabile din G.

(5p) c) Rezolvați ecuația $x*x*x=6$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie $f:D\to \mathbb{R}$, $f\left( x \right)=\frac{1+x}{1-x}$, unde D este domeniul maxim de definiție al funcției.

(5p) a) Calculați domeniul maxim de definiție D.

(5p) b) Determinați punctele de extrem și de inflexiune ale funcției.

(5p) c) Aflați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul $A\left( 2,-3 \right)$

2. Se consideră ${{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{n}}}{{{x}^{2}}+1}dx}$, $\left( \forall \right)n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.

(5p) a) Să se calculeze ${{I}_{1}}$.

(5p) b) Să se demonstreze că ${{I}_{2}}\le {{I}_{1}}$.

(5p) c) Să se demonstreze că ${{I}_{n+2}}+{{I}_{n}}=\frac{1}{n+1}$, $\left( \forall  \right)n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.