FaceBook  Twitter  
 Varianta 44

Prof:Marcu Ştefan Florin

 

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se afle soluţiile întregi ale inecuaţiei: x2160.

(5p) 2. Se consideră funcţia: f:RR , f(x)=2x+1 .

            Calculaţi suma : f(1)+f(2)+...+f(2012) .

(5p) 3. Să se rezolve în R , ecuaţia : 22x+4=43x1.

(5p) 4. Să se calculeze probabilitatea ca , alegând un element al mulţimii { 4,5,6,7,8 ) , acesta să verifice    inegalitatea : 2n+n!>2012 .

(5p) 5. Să se determine valorile numărului real a , astfel încât distanţa dintre punctele A(2,3) şi B(2,a)  să fie egală cu 1 .

(5p) 6. Triunghiul ABC , are laturile AB=AC=4 şi m(BAC)=135 . Calculaţi aria triunghiului ABC

 

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

  1. În reperul cartezian XOY , se consideră punctele : An(2n,2n+1),nN .

(5p) a) Aflaţi ecuaţia dreptei A1A2 .

(5p) b) Să se demonstreze că punctele A1,A2,A3 sunt coliniare .

(5p) c) Să se arate că, aria triunghiului OAnAn+1 este egală cu 1 , ()nN .

  1. Se consideră inelul claselor de resturi modulo 7 , Z7={ˆ 0,ˆ 1,...ˆ 6}

(5p) a) Calculaţi suma : S=ˆ 1+ˆ 2+...+ˆ 6

(5p) b) Să se calculeze produsul tuturor elementelor inversabile din inelul Z7 .

(5p) c) Să se rezolve in Z7 , sistemul de ecuaţii: {x+ˆ 2y=ˆ 3ˆ 3x+ˆ 4y=ˆ 0

 

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1.Se consideră funcţia: f:RR , f(x)=x+ex+1 .

(5p) a) Calculaţi :  limx0f(x)f(0)x .

(5p) b) Arătaţi că f este strict crescătoare pe R .

(5p) c) Să se arate că există un singur număr real c(2011,2012) , astfel încât f(c)=e2012e2011+1 .

  1. Se consideră şirul : In=10xn1x+1dx,nN .

(5p) a) Calculaţi I2 .

(5p) b) Demonstraţi că  şirul (In)nN este strict descrescător .

(5p) c) Să se arate că: In+2In=1(n+1)(n+2),()nN .