Prof:Marcu Ştefan Florin
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Să se afle soluţiile întregi ale inecuaţiei: x2−16≤0.
(5p) 2. Se consideră funcţia: f:R→R , f(x)=2x+1 .
Calculaţi suma : f(1)+f(2)+...+f(2012) .
(5p) 3. Să se rezolve în R , ecuaţia : 22x+4=43x−1.
(5p) 4. Să se calculeze probabilitatea ca , alegând un element al mulţimii { 4,5,6,7,8 ) , acesta să verifice inegalitatea : 2n+n!>2012 .
(5p) 5. Să se determine valorile numărului real a , astfel încât distanţa dintre punctele A(2,3) şi B(2,a) să fie egală cu 1 .
(5p) 6. Triunghiul ABC , are laturile AB=AC=4 şi m(∡BAC)=135∘ . Calculaţi aria triunghiului ABC
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
- În reperul cartezian XOY , se consideră punctele : An(2n,2n+1),n∈N .
(5p) a) Aflaţi ecuaţia dreptei A1A2 .
(5p) b) Să se demonstreze că punctele A1,A2,A3 sunt coliniare .
(5p) c) Să se arate că, aria triunghiului OAnAn+1 este egală cu 1 , (∀)n∈N .
- Se consideră inelul claselor de resturi modulo 7 , Z7={ˆ ⏞0,ˆ ⏞1,...ˆ ⏞6}
(5p) a) Calculaţi suma : S=ˆ ⏞1+ˆ ⏞2+...+ˆ ⏞6
(5p) b) Să se calculeze produsul tuturor elementelor inversabile din inelul Z7 .
(5p) c) Să se rezolve in Z7 , sistemul de ecuaţii: {x+ˆ ⏞2y=ˆ ⏞3ˆ ⏞3x+ˆ ⏞4y=ˆ ⏞0
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.Se consideră funcţia: f:R→R , f(x)=x+ex+1 .
(5p) a) Calculaţi : lim⏟x→0f(x)−f(0)x .
(5p) b) Arătaţi că f este strict crescătoare pe R .
(5p) c) Să se arate că există un singur număr real c∈(2011,2012) , astfel încât f′(c)=e2012−e2011+1 .
- Se consideră şirul : In=1∫0xn−1x+1dx,n∈N .
(5p) a) Calculaţi I2 .
(5p) b) Demonstraţi că şirul (In)n∈N este strict descrescător .
(5p) c) Să se arate că: In+2−In=−1(n+1)(n+2),(∀)n∈N .