Varianta 5

Prof: ANDONE EMANUEL.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.Arătaţi că numărul log₅7$\cdot$log₇25 este natural.

(5p) 2. Determinaţi valorile reale ale lui m pentru care x²+x+m$\ge 4$$(\forall )x\in R$

(5p) 3.Rezolvaţi ecuaţia $\frac{1}{{{5}^{x}}}={{25}^{-2}}$

(5p) 4. Determinaţi numărul natural n$\ge 3$ soluţie a ecuaţiei $A_{n}^{2}$=56

(5p) 5. Calculaţi perimetrul triunghiului ABC ştiind că A(1,1), B(1,2), C(2,1)

(5p) 6. Aflaţi raza cercului circumscris triunghiului ABC dacă BC=8 şi cos A=$\frac{1}{2}$

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Fie matricea A=$\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} \right)$ şi I2=$\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

(5p) a) Arătaţi că A(2I₂-A)=O₂

(5p) b) Calculaţi determinantul matricei Aⁿ  ,$n\in {{N}^{*}}$

(5p) c) Calculaţi (A+I₂)ⁿ, $n\in {{N}^{{}}}$

2. Fie polinomul f=3x⁴+2x³+x²-ax+2, $f\in R[X]$

(5p) a) Determinaţi valoarea lui a dacă $\sqrt{2}$ este rădăcină a polinomului f

(5p) b) Calculaţi $\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}+\frac{1}{{{x}_{3}}}+\frac{1}{{{x}_{4}}}$

(5p) c) Determinaţi restul împărţirii polinomului f la (x-1)²

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia $f:(0,\infty )\to \mathbb{R}$, f(x)= (x²-x+1)lnx

(5p) a) Determinaţi asimptotele la graficul funcţiei f

(5p) b) Calculaţi $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{{{x}^{3}}}$

(5p) c) Scrieţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei în punctul de abscisă 1

2. Fie funcţia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, f(x)= $\left| x-2 \right|{{e}^{\left| x \right|}}$

(5p) a)  Să se arate ca funcţia f admite primitive

(5p) b) Să se determine primitiva al cărei grafic trece prin origine

(5p) c) Arătaţi că $\int\limits_{4}^{5}{f(x)dx}\ge 32$