Prof: RICU ILEANA

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Sa se arate ca numarul  $A={{100}^{\lg 2}}+\sqrt[3]{-27}$este natural.                            

(5p) 2. Să se rezolve ecuaţia iraţională $\sqrt{1-{{x}^{2}}}+x=1$.

(5p) 3. Determinaţi expresia analitică a funcţiei de gradul al doilea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ,f (x) = ax² + 4x + c , ştiind că graficul ei taie axa Oy în punctul 1 şi are abscisa vârfului $-\frac{2}{3}$.

(5p) 4. În planul xOy se consideră punctele A,B,C ale căror afixe sunt respectiv a=2, b=1-i, c=1+i.

Arătaţi că $\vartriangle ABC$este dreptunghic isoscel.

(5p) 5. În reperul cartezian ortogonal (O;$\overset{\to }{\mathop{i}}\,$;$\overset{\to }{\mathop{j}}\,$) se consideră vectorii: $\overset{\to }{\mathop{a}}\,$= 4$\overset{\to }{\mathop{i}}\,$ + (m + 1)$\overset{\to }{\mathop{j}}\,$ şi

$\overset{\to }{\mathop{b}}\,$= (m - 1)$\overset{\to }{\mathop{i}}\,$ + 2$\overset{\to }{\mathop{j}}\,$.Să se determine m$\in$R, pentru care $\overset{\to }{\mathop{a}}\,$ şi $\overset{\to }{\mathop{b}}\,$ sunt coliniari.

(5p) 6. Să se scrie ecuaţia dreptei care trece prin punctul A(2;6) şi face un unghi de 30^˚cu axa Ox.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră matricea $A=\left( \begin{matrix} 2 & 6 \\ 1 & 3 \\ \end{matrix} \right)$

(5p) a) Să se verifice că ${{A}^{2}}=5A$.

(5p) b) Să se demonstreze că ${{A}^{n}}={{5}^{n-1}}\cdot A,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$

(5p) c) Să se arate că matricea $A-{{A}^{2}}+{{A}^{3}}-..........+{{\left( -1 \right)}^{99}}{{A}^{100}}$ are toate elementele strict negative.

2.Pe mulţimea$\mathbb{R}$ se defineste legea de compoziţie $,,\circ ''$definită prin $x\circ y=2xy-6x-6y+21,\forall x,y\in \mathbb{R}$

(5p) a) Arătaţi că $x\circ y=2\left( x-3 \right)\left( y-3 \right)+3,\forall x,y\in \mathbb{R}$

(5p) b) Arătaţi că legea de compoziţie este asociativă.

(5p) c) Stabiliţi valoarea de adevăr a afirmaţiei ,,ecuaţia $\underbrace{x\circ x\circ ........\circ x}_{de2012ori}=3$are în $\mathbb{R}$ o infinitate de soluţii”

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{e}^{x}}\left( 4-{{e}^{x}} \right)$

(5p) a) Arătaţi că ${f}'\left( x \right)=2{{e}^{x}}\left( 2-{{e}^{x}} \right)$

(5p) b) Calculaţi coordonatele punctului P ştiind că tangenta la curba C lui f  în punctul P este paralelă cu axa abscicelor.

(5p) c) Arătaţi că $f\left( x \right)\le 4,\forall x\in \mathbb{R}$

2. Se consideră funcţiile ${{f}_{n}}:\left( 0;+\infty \right)\to \mathbb{R},{{f}_{n}}\left( x \right)=\frac{{{\left( \ln x \right)}^{n}}}{{{x}^{2}}},n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$,.

(5p)     a) Să se demonstreze că ${{f}_{1}}\left( x \right)-{{f}_{2}}\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left[ 1;e \right]$.

(5p)     b)Să se determine aria suprafeţei plane mărginită de graficele funcţiilor f₁ şi f₂ şi dreptele de ecuaţii x=1,respectiv x=e .

(5p)     c) Să se determine volumul corpului de rotaţie C_g ,determinat de funcţia $g\left( x \right)=x\sqrt{x}\left[ {{f}_{1}}\left( x \right)-{{f}_{2}}\left( x \right) \right],x\in \left[ 1;e \right]$