-
Detalii
-
Categorie: Uncategorised
-
Accesări: 5883
Pentru a asigura formatarea corectă și alinierea textului când copiați pe site, puteți folosi următorul format fără linii de separare și cu un spațiu înaintea fiecarei linii pentru a păstra indentarea:
```
### Examenul de Bacalaureat 2011
### Proba E. c) - Matematică
### Varianta 7
#### Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinŃele naturii.
#### Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale.
**Instrucțiuni:**
- Toate subiectele sunt obligatorii.
- Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
- La toate subiectele se cer rezolvări complete.
### SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. Comparați numerele \( a = \log_2 4 \) și \( b = \log_3 27 \).
2. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația \( 3x^2 - 11x + 6 \leq 0 \).
3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \( x^2 + 3x + 1 = 2x^2 + 5 \).
4. Determinați \( n \in \mathbb{N} \), \( n \geq 2 \), pentru care \( C_n^1 + C_n^2 = 15 \).
5. Determinați numerele reale \( m \), pentru care punctul \( A(m^2 - 1, 2m - m^2) \) se află pe dreapta \( d: x - y + 1 = 0 \).
6. Calculați \( \cos x \), știind că \( 0^\circ < x < 90^\circ \) și \( \sin x = \frac{12}{13} \).
### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră mulțimea \( G = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{N} \right\} \).
a. Determinați numerele naturale \( m \) și \( n \) pentru care matricea \( \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 9 \end{pmatrix} \in G \).
b. Arătați că dacă \( U, V \in G \), atunci \( U \cdot V \in G \).
c. Calculați suma elementelor matricei \( U \in G \), știind că suma elementelor matricei \( 2U \) este egală cu 8.
2. Se consideră polinomul \( f(X) = X^4 - 4X^3 + 2X^2 - 4X + 4 \).
a. Arătați că restul împărțirii polinomului \( f \) prin polinomul \( g(X) = X^2 - 2 \) este egal cu 0.
b. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \( f(x) = 0 \).
c. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \( 16x^4 - 8x^2 + 4 = 4x^2 - 2x^2 + 4 \).
### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \), definită prin:
\[
f(x) =
\begin{cases}
x + 1, & x \in (0, 1] \\
\frac{1}{x} + 1, & x \in (1, +\infty)
\end{cases}
\]
a. Demonstrați că funcția \( f \) este continuă în punctul \( x_0 = 1 \).
b. Arătați că funcția \( f \) este convexă pe intervalul \( (1, +\infty) \).
c. Demonstrați că \( f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) \leq 4 \), pentru orice \( x \in (0, +\infty) \).
2. Se consideră funcțiile \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \), \( f(x) = e^x \ln x \) și \( g: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \), \( g(x) = \frac{e^x}{x} \).
a. Calculați \( \int_1^2 x g(x) \, dx \).
b. Calculați \( \int_e^{2e} \frac{f(x)}{x} \, dx \).
c. Demonstrați că \( \int_e^{e^2} f(x) g(x) \, dx = e \).
---
Vă rugăm să rezolvați fiecare subiect complet și să justificați fiecare pas al soluției. Succes!
```
Folosiți codul de mai sus, selectați-l și copiați-l direct în editorul site-ului dvs. ar trebui să păstreze formatarea corectă.
.png){kind=icon}
.png){kind=icon}
