Varianta 88

Prof.  Szép Gyuszi

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Arătați că \(\sqrt{2}\in\left( \dfrac{1}{2},\, \sqrt[3]{3} \right)\).

(5p) 2. Calculați distanța dintre punctele de intersecție ale graficului funcției \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f(x)={{x}^{2}}+7x+10\) cu axa \(Ox\).

(5p) 3. Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația \({{\log }_{2}}\left( {{4}^{x}}-6 \right)=x\).

(5p) 4. Calculați probabilitatea ca, alegând o pereche \((a,\,b)\in \{1;3;6;8\}\times \{1;3;6;8\}\), produsul \(a\cdot b\) să fie par.

(5p) 5. Determinați\(a\in \mathbb{R}\) pentru care vectorii \(\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}+(3a+1)\overrightarrow{j}\) și \(\overrightarrow{v}=a\overrightarrow{i}+(3-a)\overrightarrow{j}\) să fie coliniari.

(5p) 6. Calculați \(\cos \left( 2\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right)\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră sistemul de ecuații \(\left\{ \begin{align} & \ \ \,x+\ \ \ y+2z=-1 \\ & \ \ \,x-2y+\ \ \ z=n \\ & mx-\ \ \ y-\ \ \ z=1 \\ \end{align} \right.\), unde \(m\), \(n\in \mathbb{R}\).

(5p) a) Determinați \(m\in \mathbb{R}\) pentru care determinantul matricei sistemului este nul.

(5p) b) Să se determine valorile parametrilor \(m\), \(n\in \mathbb{R}\) pentru care sistemul este incompatibil.

(5p) c) Să se arate că, dacă sistemul admite soluția \(\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}} \right)\) cu proprietatea că \({{x}_{0}}\), \({{y}_{0}}\) și \({{z}_{0}}\) sunt în progresie aritmetică (în această ordine), atunci \(n=0\).

2. Fie \(f\), \(g\in {{\mathbb{Z}}_{5}}[X]\), \(f={{X}^{3}}+{{X}^{2}}+aX+\hat{1}\) și \(g=X+\hat{3}\).

(5p) a) Să se determine \(a\in {{\mathbb{Z}}_{5}}\) pentru care polinomul \(g\) divide polinomul \(f\).

(5p) b) Pentru \(a=\hat{1}\), să se arate că \(f=\left( X+\hat{1} \right)\left( {{X}^{2}}+\hat{1} \right)\).

(5p) c) Pentru \(a=\hat{1}\), să se rezolve în inelul \(\left( {{\mathbb{Z}}_{5}},+,\cdot  \right)\) ecuația \(f(x)=\hat{0}\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f(x)={{\text{e}}^{x}}-x{{\text{e}}^{2}}\).

(5p) a) Să se determine ecuația asimptotei către \(-\infty \) la graficul funcției \(f\).

(5p) b) Să se determine punctul în care tangenta la graficul funcției \(f\)este paralelă cu dreapta de ecuație \(y=1\).

(5p) c) Să se calculeze \(\underset{\begin{smallmatrix} x\to 2 \\ x>2 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{f'(x)}{(x-2){{\text{e}}^{2}}} \right)}^{\frac{1}{x-2}}}\).

2. Pentru \(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\) definim șirurile \({{\left( {{x}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}\) și \({{\left( {{y}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}\) cu termenii generali \({{x}_{n}}=\mathop{\int }_{0}^{1}{{\text{t}}^{n}}\cos t\text{dt}\) și

    \({{y}_{n}}=\mathop{\int }_{0}^{1}{{\text{t}}^{n}}\sin t\text{dt}\).

(5p) a) Arătați că \({{x}_{n}}\ge 0\), pentru orice \(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\).

(5p) b) Folosind metoda integrării prin părți, demonstrați că \({{x}_{n+1}}=-(n+1){{y}_{n}}+\sin 1\), pentru orice \(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\).

(5p) c) Admițând că  \({{y}_{n+1}}=(n+1){{x}_{n}}-\cos 1\), pentru orice \(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\), calculați \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\,n{{x}_{n}}\).