Varianta 88
Prof. Szép Gyuszi
- Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
- La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Arătați că √2∈(12,3√3).
(5p) 2. Calculați distanța dintre punctele de intersecție ale graficului funcției f:R→R, f(x)=x2+7x+10 cu axa Ox.
(5p) 3. Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația log2(4x−6)=x.
(5p) 4. Calculați probabilitatea ca, alegând o pereche (a,b)∈{1;3;6;8}×{1;3;6;8}, produsul a⋅b să fie par.
(5p) 5. Determinația∈R pentru care vectorii →u=2→i+(3a+1)→j și →v=a→i+(3−a)→j să fie coliniari.
(5p) 6. Calculați cos(2arccos√22).
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
- Se consideră sistemul de ecuații { x+ y+2z=−1 x−2y+ z=nmx− y− z=1, unde m, n∈R.
(5p) a) Determinați m∈R pentru care determinantul matricei sistemului este nul.
(5p) b) Să se determine valorile parametrilor m, n∈R pentru care sistemul este incompatibil.
(5p) c) Să se arate că, dacă sistemul admite soluția (x0,y0,z0) cu proprietatea că x0, y0 și z0 sunt în progresie aritmetică (în această ordine), atunci n=0.
- Fie f, g∈Z5[X], f=X3+X2+aX+ˆ1 și g=X+ˆ3.
(5p) a) Să se determine a∈Z5 pentru care polinomul g divide polinomul f.
(5p) b) Pentru a=ˆ1, să se arate că f=(X+ˆ1)(X2+ˆ1).
(5p) c) Pentru a=ˆ1, să se rezolve în inelul (Z5,+,⋅) ecuația f(x)=ˆ0.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
- Se consideră funcția f:R→R, f(x)=ex−xe2.
(5p) a) Să se determine ecuația asimptotei către −∞ la graficul funcției f.
(5p) b) Să se determine punctul în care tangenta la graficul funcției feste paralelă cu dreapta de ecuație y=1.
(5p) c) Să se calculeze lim.
- Pentru n\in {{\mathbb{N}}^{*}} definim șirurile {{\left( {{x}_{n}} \right)}_{n\ge 1}} și {{\left( {{y}_{n}} \right)}_{n\ge 1}} cu termenii generali {{x}_{n}}=\mathop{\int }_{0}^{1}{{\text{t}}^{n}}\cos t\text{dt} și
{{y}_{n}}=\mathop{\int }_{0}^{1}{{\text{t}}^{n}}\sin t\text{dt}.
(5p) a) Arătați că {{x}_{n}}\ge 0, pentru orice n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.
(5p) b) Folosind metoda integrării prin părți, demonstrați că {{x}_{n+1}}=-(n+1){{y}_{n}}+\sin 1, pentru orice n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.
(5p) c) Admițând că {{y}_{n+1}}=(n+1){{x}_{n}}-\cos 1, pentru orice n\in {{\mathbb{N}}^{*}}, calculați \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\,n{{x}_{n}}.