Varianta 89

Prof. Szép Gyuszi

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Arătați că \({{\log }_{3}}\left( \sqrt{10}-1 \right)+{{\log }_{3}}\left( \sqrt{10}+1 \right)=2\).

(5p) 2. Determinați \(m\in \mathbb{R}\) pentru care soluțiile \({{x}_{1}}\) și \({{x}_{2}}\) ale ecuației \({{x}^{2}}-2x+m=0\) verifică relația \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10\).

(5p) 3. Notăm cu \(g\) inversa funcției bijective \(f:(0,+\infty )\to (6,+\infty )\), \(f(x)={{5}^{x}}+1\). Calculați \(g(26)\).

(5p) 4. Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare una dintre submulțimile mulțimii \(A=\left\{ 1;2;3;4;5 \right\}\), aceasta să aibă două elemente.

(5p) 5. Fie \(MNPQ\) un paralelogram în care \(MQ=8\), \(MN=3\) și \(m(\sphericalangle MQP)={{150}^{{}^\circ }}\). Calculați \(\left| \overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MN} \right|\).

(5p) 6. Calculați \(\sin\dfrac{\pi}{36}-\cos\dfrac{17\pi}{36}\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea \(A=\left( \begin{array}{*{35}{r}} 3 & -2 & -2 \\ -2 & -2 & 3 \\ \end{array} \right)\).

(5p) a) Să se calculeze rangul matricei \(A\).

(5p) b) Să se demonstreze că \(\det \left( A\cdot {}^{t}A \right)\) este pătrat perfect.

(5p) c) Să se calculeze \(\det \left( {}^{t}A\cdot A \right)\).

2. Se consideră polinoamele \(f,\,g\in \mathbb{R}[X]\), \(f={{X}^{3}}+{{X}^{2}}+2X+2\) și \(g={{X}^{2}}+1\). Notăm cu \({{x}_{1}}\), \({{x}_{2}}\), \({{x}_{3}}\in \mathbb{C}\) rădăcinile polinomului \(f\).

(5p) a) Să se determine restul împărțirii polinomului \(f\) la polinomul \(g\).

(5p) b) Să se calculeze \(\left( 1+{{x}_{1}} \right)(1+{{x}_{2}})(1+{{x}_{3}})\).

(5p) c) Să se calculeze \(g\left( {{x}_{1}} \right)\cdot g\left( {{x}_{2}} \right)\cdot g\left( {{x}_{3}} \right)\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\setminus \left\{ -\frac{2}{3} \right\}\to \mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{4x+3}{3x+2}\).

(5p) a) Să se scrie ecuația tangentei la graficul funcției \(f\) în punctul de abscisă \({{x}_{0}}=0\).

(5p) b) Să se calculeze \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \,f(x)-\frac{x}{3x+2} \right)}^{x}}\).

(5p) c) Să se determine punctele de inflexiune ale graficului funcției \(g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(g(x)=f\left( {{5}^{x}} \right)\).

2. Fie \(m\), \(n\in \mathbb{R}\) și funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f(x)=\left\{ \begin{align} & {{2}^{x}}+m,\quad \quad \quad x\le 0 \\ & 2nx+\sin x,\quad x>0 \\ \end{align} \right.\).

(5p) a) Să se determine \(m\), \(n\in \mathbb{R}\) pentru care funcția \(f\) este o primitivă a unei funcții pe \(\mathbb{R}\).

(5p) b) Pentru \(m=-1\) și \(n=1\), calculați \(\int\limits_{-1}^{\frac{\pi }{3}}{f(x)\text{d}x}\).

(5p) c) Să se determine \(n\in \mathbb{R}\) pentru care aria suprafeței delimitate de graficul funcției \(g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}\),  \(g(x)=f(x)\), axa \(Ox\) și dreptele de ecuații \(x=\frac{\pi }{3}\) și \(x=\pi \) este egală cu \(5\).