Varianta 91

Prof.  Teler Marian

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Aflaţi câte numere naturale nenule mai mici sau egale cu 100 se divid cu 2 sau cu 5.

(5p) 2. Determinaţi \(a\in R\) astfel încât numărul \(\frac{5}{2+i}+\frac{a}{2-i}\) să fie întreg.

(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia \({{4}^{x}}-5\cdot {{2}^{x}}+6=0\).

(5p) 4. Rezolvaţi ecuaţia: \(A_{x}^{2}+C_{x}^{x-2\grave{\ }}=18\).

(5p) 5. Să se determine \(m\in R\) astfel încât punctele \(A(1,-2),B(3,m),C(2,6)\) să fie coliniare.

(5p) 6. Fie \(\alpha \in \left( \frac{\pi }{2},\pi  \right)\) astfel încât \(sin\alpha =\frac{1}{3}\). Să  se calculeze \(\sin 2\alpha \)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră polinomul \(f={{X}^{3}}-6{{X}^{2}}+mX-6,m\in R\) şi fie \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\in C\) rădăcinile sale.

(5p) a) Calculaţi \(f\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right)-f\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}} \right)\).

(5p) b) Să se determine m astfel încât \({{x}_{1}}+{{x}_{3}}=2{{x}_{2}}\)

(5p) c) Pentru \(m=11\), să se calculeze \(C_{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}+C_{{{x}_{2}}+{{x}_{3}}}^{{{x}_{1}}}+C_{{{x}_{3}}+{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}\)

2. Se consideră matricele \(A=\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)\) , \(B={{I}_{3}}+A\), \(C={{I}_{3}}-A\).

(5p) a) Calculaţi \({{A}^{2}},\)

(5p) b) Verificaţi dacă \(BC=CB,\)

(5p) c) Demontraţi că matricea B este inversabilă şi determinaţi inversa sa.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:R\to R,f(x)=\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}{2}\). Se notează cu \({{f}^{(n)}}\) derivata de ordinul n a funcţiei f.

(5p) a) Demonstraţi că funcţia f are un punct de minim.

(5p) b) Demonstraţi că graficul funcţiei f  nu are puncte de inflexiune.

(5p) c) Demonstraţi că funcţiile \({{g}_{n}}:R\to R,{{g}_{n}}(x)={{f}^{(n)}}(x)+{{f}^{(n+1)}}(x)-{{e}^{x}},n\in N\) sunt constante.

2. Se consideră funcţia \(f:\left( -2,\infty \right)\to R,f(x)=\frac{2x+3}{x+2}\).

(5p) a) Arătaţi că orice primitivă a funcţiei f este convexă pe \(\left( -2,\infty  \right)\)

(5p) b) Calculaţi \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{f(x)}{x+1}dx}\)

(5p) c) Calculaţi \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\int\limits_{x}^{3x}{f(t)dt}}{x}\)