Varianta 95

Prof. Tomiță Liliana

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculați \({{\log }_{\sqrt{3}}}9\sqrt{3}\) .

(5p) 2. Rezolvați în \(\mathbb{C}\) ecuația \({{z}^{4}}-81=0\).

(5p) 3. Determinați punctele în care graficul funcției \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)={{x}^{2}}-4x+3\) intersectează axele .

(5p) 4. Determinați aria unui triunghi echilateral cu latura de 3 cm .

(5p) 5. Dintre funcțiile surjective x\(f:\left\{ 1,2,3,...,10 \right\}\to \left\{ 1,2,3,...,10 \right\}\) se alege una la întâmplare. Care este probabilitatea ca funcția aleasă să fie injectivă?

(5p) 6. Se consideră punctele \(A\left( 2,3 \right);\text{ }B\left( -1,1 \right)\) și \(C\left( 0;-2 \right)\) . Să se determine lungimea vectorului \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\) .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea \(A=\left( \begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 6 & 4 & 2 \\ 9 & 6 & 3 \\ \end{matrix} \right)\)

(5p) a) Calculați \(\det A\) și \(\text{rang }A\) .

(5p) b) Determinați \({{A}^{2014}}\) .

(5p) c) Fie \(B={{\mathcal{I}}_{3}}+A\) . Arătați că \(B\) este inversabilă și determinați \({{B}^{-1}}\) .

2. Se consideră polinomul \(f={{X}^{4}}+4{{X}^{3}}-4aX+4b\in \mathbb{Q}\left[ x \right]\)

(5p) a) Pentru \(a=b=0\) determinați rădăcinile lui \(f\) .

(5p) b) Știind că \(f\) admite o rădăcină dublă de forma \(m+n\sqrt{3},\text{ }m,n\in {{\mathbb{Q}}^{*}}\) determinați \(a\) și \(b.\)

(5p) c) Determinați \(a\) și \(b\) știind că \(x=1\) este rădăcină dublă pentru \(f\) .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\left[ 0,2 \right]\to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)=\sqrt{2x-{{x}^{2}}}\)

(5p) a) Să se studieze derivabilitatea funcției \(f\).

(5p) b) Să se afle punctele de extrem ale funcției \(f\).

(5p) c) Arătați că \(f\) este o funcție concavă pe \(\left[ 0,2 \right]\).

2. Fie \(x\in \mathbb{R},\text{ }n\in \mathbb{N}\) și \({{\mathcal{I}}_{n}}=\int{{{\sin }^{n}}x\text{ }dx}\)

(5p) a) Calculați \({{\mathcal{I}}_{1}},{{\mathcal{I}}_{2}},{{\mathcal{I}}_{3}}\).

(5p) b) Arătați că \(n{{\mathcal{I}}_{n}}=-{{\sin }^{n-1}}x\cos x+\left( n-1 \right){{\mathcal{I}}_{n-2}},\text{ }n\ge 2\).

(5p) c) Calculați \(24{{\mathcal{I}}_{6}}\).