Varianta 1

Prof: Andone Elena

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Determinaţi a 2012-a zecimală a numărului \(\frac{1}{63}\) .

(5p) 2. Fie funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\frac{1}{2}x-4\). Calculaţi \((f\circ f)(2)\).

5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia \(5\cdot {{9}^{x}}-2\cdot {{3}^{x}}-3\)=0

(5p) 4. În câte moduri pot fi aranjate 6 cărţi pe un raft?

(5p) 5. Aflaţi panta dreptei care trece prin punctele A(2,4) şi B(-1,0)

(5p) 6. Aflaţi raza cercului circumscris unui triunghi dreptunghic ce are catetele 8 cm respectiv  6 cm.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea \(A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \\ \end{matrix} \right)\)

(5p) a) Arătaţi că \({{A}^{2}}-2A+5{{I}_{2}}={{O}_{2}}\)

(5p) b) Verificaţi dacă matricea A este inversabilă şi, în caz afirmativ, aflaţi inversa matricei A.

(5p) c) Calculaţi (A-I₂)ⁿ, n număr natural.

2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte următoarea lege de compoziţie: x\(\circ \)y=xy-x-y+7

(5p) a) Arătaţi că x\(\circ \)y=(x-1)(y-1)+6

(5p) b) Verificaţi dacă egalitatea x\(\circ \) (y\(\circ \)z)=(x\(\circ \)y) \(\circ \) z, este adevărată pentru oricare x, y, z  numerele reale

(5p) c) Rezolvaţi ecuaţia x\(\circ \)x=31.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie \(f:\mathbb{R}-\{1\}\to \mathbb{R},f(x)=\frac{{{x}^{2}}}{x-1}\)

(5p) a) Studiaţi existenţa asimptotelor la\(\infty \) la graficul funcţiei f;

(5p) b) Studiaţi monotonia funcţiei f;

(5p) c) Arătaţi că funcţia f este concavă pe intervalul \((-\infty ,1)\)

(5p) a) Arătaţi că funcţia f admite primitive pe mulţimea numerelor reale.

(5p) b) Determinaţi primitiva funcţiei f , al cărei grafic trece prin punctul de coordonate (1,0)

(5p) c) Calculaţi \(\int\limits_{-2}^{3}{f(x)dx}\)