Varianta 92

Prof:  Corneliu Mănescu-Avram.

- Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.

- Timpul efectiv de lucru: 2 ore.

 SUBIECTUL  I – Pe foaia de examen se trec doar rezultatele.         ( 30 de puncte)

(5p)     1. Dacă 1 + 3 + 5 + ... + 19 = a², atunci a =  ………………….

(5p)     2. Un băiat are 5000 de zile de la naştere. La cea mai apropiată aniversare el va împlini ……………………… ani.

(5p)     3  Numărul elevilor dintr-o şcoală a scăzut cu 10% într-un an, dar procentul fetelor a crescut de la 50% la 55%. Numărul fetelor a scăzut cu ……………………….%

(5p)     4. Dintr-un dreptunghi se taie un pătrat şi se obţine un dreptunghi mai mic, în care raportul x dintre lungime şi lăţime este acelaşi cu raportul dintre lungimea şi lăţimea dreptunghiului iniţial. Atunci x = ……………………..

(5p)     5  Lungimea unui  acvariu este de 16 cm, lăţimea este de 15 cm, iar înălţimea este de 10 cm. Se introduce în acvariu un cub greu cu muchia de 12 cm şi se umple cu apă. După ce cubul este scos, înălţimea până la care urcă apa în acvariu este egală cu ………………………cm  

(5p)     6. Dacă V este numărul de vârfuri, M este numărul de muchii şi F este numărul de feţe al unei piramide, atunci \(V-M+F=\) ………………………….

            SUBIECTUL  II – Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. ( 30 de puncte)

(5p)     1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră regulată.

(5p)     2. Se consideră mulţimile A = {\(n\in \mathbb{N} |\)n + 2 este divizibil cu 13} şi

B = {13k + 10 \(\left| k\in \mathbb{N} \right.\)}. Să se arate că B\(\subset \)A.

(5p)     3. Adunând suma, diferenţa, produsul şi câtul a două numere obţinem 147.  Să se găsească aceste numere.

 4. Fie a, b, c\(\in \)Q^*.

(5p)    a) Să se arate că \(A=\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+{{\left( \frac{a+b+c}{ab+bc+ca} \right)}^{2}}}\in \mathbb{Q}.\)

(5p)    b) Să se arate că dacă \(ab+bc+ca=1,\) atunci \(\sqrt{\left( 1+{{a}^{2}} \right)\left( 1+{{b}^{2}} \right)\left( 1+{{c}^{2}} \right)}\in \mathbb{Q}.\)

(5p)     5. Să se simplifice fracţia \(\frac{{{x}^{7}}+2{{x}^{2}}-2x+1}{{{x}^{5}}+{{x}^{2}}-x+1}.\)

  SUBIECTUL  III – Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.( 30 de puncte)

1. Un patrulater ABCD are un cerc înscris şi diagonalele AC, BD

 (5p)  a) Arătaţi că AB + CD = AC + BD.

 (5p)  b) Arătaţi că \(A{{B}^{2}}+C{{D}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{D}^{2}}.\)

 (5p)  c) Arătaţi că dreapta AC este mediatoarea segmentului [BD] sau dreapta BD este mediatoarea segmentului [AC].

 2. Piramida lui Keops este o piramidă patrulateră regulată cu latura bazei de 230 m şi înălţimea de 146 m.

(5p)  a) Să se calculeze volumul piramidei.

(5p)  b) Să se calculeze masa totală a piramidei, ştiind că densitatea medie a pietrei din care a fost construită este de 2,6 t / m³.

(5p)  c) Câte blocuri de piatră au fost folosite la construcţia piramidei, dacă masa medie a unui bloc este de 2,9 t .