Varianta 125

Prof: Oláh Csaba.

- Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.

- Timpul efectiv de lucru: 2 ore.

 SUBIECTUL  I – Pe foaia de examen se trec doar rezultatele.  ( 30 de puncte)

(5p)     1. Dacă \(a,b\in {{N}^{*}}\), \(a<b\le 3\) şi \(\frac{a}{2}=\frac{3}{b}\), atunci \(a=\)...., \(b=\)......

(5p)     2. Restul la împărţirea numărului \(n=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot 100+62\) la \(3\) este ......

(5p)     3. Rezultatul calculului \(2012\cdot 101-100\cdot 2012-2011\) este .....

(5p)     4. Linia mijlocie a unui trapez este de \(5cm\), iar baza mare e dublu faţă de baza mică. Lungimea bazei mari este....

(5p)     5. Suma a trei numere naturale consecutive este \(24\). Al doilea număr este .....

(5p)     6. \(a=2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+...+{{2}^{6}}\), \(b=3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+{{3}^{4}}\) - mai mare dintre \(a\)şi \(b\) este .....

            SUBIECTUL  II – Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. ( 30 de puncte)

(5p)     1. Avem cutii cu dimensiunile de \(18cm\), \(12cm\) şi \(16cm\). Ce lungime are cel mai mic cub, care se poate construi cu ajutorul acestor cutii?

(5p)     2. Fie numerele \(a=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{1024}\) şi \(b=\frac{2}{4}+\frac{6}{8}+...+\frac{2046}{2048}\). Să se calculeze valoare fracţiei \(\frac{a+b}{2}\).

(5p)     3. În triunghiul \(ABC\) măsurile unghiurilor interioare sunt direct proporţionale cu \(3,4\) respectiv \(5\). Să se afle măsurile unghiurilor triunghiului.

 4. Fie mulţimile \(A=\left\{ \left. x \right|{{2}^{x}}\le 32,x\in N \right\}\) şi \(B=\left\{ \left. y \right|3y+1<14,y\in N \right\}\).

(5p)    a) \(A,B=?\)

(5p)    b) \(A\Delta B=\left( A\backslash B \right)\cup \left( B\backslash A \right)=?\) (diferenţa simetrică)

(5p)     5. Desenaţi un trapez dreptunghic \(ABCD\), \[\left. AB \right|\left| CD \right.\], \(m\left( \angle A \right)=m\left( \angle D \right)={{90}^{\circ }}\).

           SUBIECTUL  III – Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.( 30 de puncte)

1. Fie cubul \(\left[ ABCD{{A}^{'}}{{B}^{'}}{{C}^{'}}{{D}^{'}} \right]\)(Fig 1.) , \(AB=12cm\).

 (5p)  a) Din vârful \(A\) al cubului porneşte o furnică şi vrea să ajungă în punctul \({{C}^{'}}\), parcurgând cel mai scurt drum posibil, pe suprafaţa cubului. Care va fi lungimea drumului?

 (5p)  b) Să se afle distanţa \(d\left( {{C}^{'}},AB \right)\);

 (5p)  c) Fie \(M\in \left( {{B}^{'}}{{C}^{'}} \right)\), \(N\in \left( B{{B}^{'}} \right)\) şi \(P\in \left( AB \right)\) astfel încât \(M{{C}^{'}}=9cm\), \(N{{B}^{'}}=4cm\) şi \(AP=6cm\). Furnica se întoarce din vârful \({{C}^{'}}\)în vârful \(A\) pe drumul \([{{C}^{'}}MNPA]\) (marcat cu roşu pe desen). Aproximativ, cu cât este mai lung acest drum faţă de drumul din puctul a) ?

 2. Fie expresia \(E\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+x+1}-\frac{{{x}^{2}}+x+1}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\cdot \left( \frac{{{x}^{4}}-{{x}^{2}}}{x\left( x+1 \right)}+1 \right)\), \(x\in {{N}^{*}}\).

(5p)  a) Să se aducă \(E\left( x \right)\) la forma cea mai simplă;

(5p)  b) Să se calculeze \(E\left( 6 \right)\);

(5p)  c) Să se demonstreze că \(E\left( x \right)\in N\) pentru fiecare \(x\in {{N}^{*}}\).