Varianta 130

Prof: Oláh Csaba

- Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.

- Timpul efectiv de lucru: 2 ore.

            SUBIECTUL  I – Pe foaia de examen se trec doar rezultatele.         ( 30 de puncte)

(5p)     1. Ultima cifră a numărului \({{2007}^{2008}}+3\) este.....

(5p)     2. Din cifrele \(1,2,3\) se pot alcătui ........ numere de trei cifre, cu cifre care nu se repetă.

(5p)     3. În triunghiul \(ABC\),\(AB=7\),\(BC=10\),\(CA=3\). Atunci aria triunghiului \(ABC\) este.....

(5p)     4. Probabilitatea ca un număr între \(1\)şi\(50\)să fie prim, este......

(5p)     5. Diagonala unui cub este \(6\sqrt{6}\). Volumul cubului este......

(5p)     6. Dintre numerele \(3\sqrt{5}\) şi \(2\sqrt{5}+1\) mai mare este......

            SUBIECTUL  II – Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. ( 30 de puncte)

(5p)     1. Numerele naturale \(x,y,z\) sunt direct proporţionale cu numerele \(3,4\)şi\(5\). Demonstraţi că \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{z}^{2}}\).

(5p)     2. Calculaţi latura unui triunghi echilateral ştiind că \(R-r=2\sqrt{3}\). (\(R\)este raza cercului circumscris iar \(r\)este raza cercului inscris in triunghi)

(5p)     3. Media de vârstă a două persoane\(\left( {{P}_{1}},{{P}_{2}} \right)\) este \(48\)ani. Dacă mai vine o persoană\(\left( {{P}_{3}} \right)\), media de vârstă a celor trei devine \(36\) ani. Câţi ani are a treia persoană \(\left( {{P}_{3}} \right)\)?

 4. Fie \(5\)puncte în plan, distincte câte două.

(5p)    a). Care este numărul maxim de drepte care trec prin aceste puncte?

(5p)    b). Aşezaţi punctele astfel încât numărul dreptelor să fie \(5\).

(5p)     5. Determinaţi cifrele, dacă \(\overline{24x68y}\vdots 45\).

SUBIECTUL  III – Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.( 30 de puncte)

1. Fie sumele: \({{S}_{1}}=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...\), \({{S}_{2}}=\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}+...\).

 (5p)  a). Calculaţi valoarea sumei \({{S}_{1}}\), dacă are \(9\) membri;

 (5p)  b). Calculaţi valoarea sumei \({{S}_{2}}\), dacă are \(9\) membri;

 (5p)  c). Câţi membri are \({{S}_{1}}\), dacă are valoarea \(\frac{99}{100}\)?

 2. Fie tetraedrul regulat \(\left[ VABC \right]\), lungimea muchiei \(12cm\), \(P\) un punct în interiorul tetraedrului. Calculaţi:

(5p)  a). Volumul tetraedrului;

(5p)  b). Distanţa dintre două centre de greutate ale feţelor tetraedrului;

(5p)  c). Suma distanţelor punctului \(P\) de la feţele tetraedrului.