Varianta 130

Prof: Oláh Csaba

- Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.

- Timpul efectiv de lucru: 2 ore.

            SUBIECTUL  I – Pe foaia de examen se trec doar rezultatele.         ( 30 de puncte)

(5p)     1. Ultima cifră a numărului ${{2007}^{2008}}+3$ este.....

(5p)     2. Din cifrele $1,2,3$ se pot alcătui ........ numere de trei cifre, cu cifre care nu se repetă.

(5p)     3. În triunghiul $ABC$,$AB=7$,$BC=10$,$CA=3$. Atunci aria triunghiului $ABC$ este.....

(5p)     4. Probabilitatea ca un număr între $1$şi$50$să fie prim, este......

(5p)     5. Diagonala unui cub este $6\sqrt{6}$. Volumul cubului este......

(5p)     6. Dintre numerele $3\sqrt{5}$ şi $2\sqrt{5}+1$ mai mare este......

            SUBIECTUL  II – Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. ( 30 de puncte)

(5p)     1. Numerele naturale $x,y,z$ sunt direct proporţionale cu numerele $3,4$şi$5$. Demonstraţi că ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{z}^{2}}$.

(5p)     2. Calculaţi latura unui triunghi echilateral ştiind că $R-r=2\sqrt{3}$. ($R$este raza cercului circumscris iar $r$este raza cercului inscris in triunghi)

(5p)     3. Media de vârstă a două persoane$\left( {{P}_{1}},{{P}_{2}} \right)$ este $48$ani. Dacă mai vine o persoană$\left( {{P}_{3}} \right)$, media de vârstă a celor trei devine $36$ ani. Câţi ani are a treia persoană $\left( {{P}_{3}} \right)$?

 4. Fie $5$puncte în plan, distincte câte două.

(5p)    a). Care este numărul maxim de drepte care trec prin aceste puncte?

(5p)    b). Aşezaţi punctele astfel încât numărul dreptelor să fie $5$.

(5p)     5. Determinaţi cifrele, dacă $\overline{24x68y}\vdots 45$.

SUBIECTUL  III – Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.( 30 de puncte)

1. Fie sumele: ${{S}_{1}}=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...$, ${{S}_{2}}=\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}+...$.

 (5p)  a). Calculaţi valoarea sumei ${{S}_{1}}$, dacă are $9$ membri;

 (5p)  b). Calculaţi valoarea sumei ${{S}_{2}}$, dacă are $9$ membri;

 (5p)  c). Câţi membri are ${{S}_{1}}$, dacă are valoarea $\frac{99}{100}$?

 2. Fie tetraedrul regulat $\left[ VABC \right]$, lungimea muchiei $12cm$, $P$ un punct în interiorul tetraedrului. Calculaţi:

(5p)  a). Volumul tetraedrului;

(5p)  b). Distanţa dintre două centre de greutate ale feţelor tetraedrului;

(5p)  c). Suma distanţelor punctului $P$ de la feţele tetraedrului.