### **Cazurile de congruență ale triunghiului oarecare**

Două triunghiuri sunt **congruente** dacă au toate laturile și unghiurile **corespunzătoare egale**. Există **trei cazuri** principale de congruență:

### **1. Cazul Latură-Latură-Latură (LLL)**
Dacă **toate cele trei laturi** ale unui triunghi sunt **congruente** cu cele ale altui triunghi, atunci triunghiurile sunt **congruente**.

$$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C' \quad \text{dacă} \quad AB = A'B', \quad BC = B'C', \quad AC = A'C'$$

---

### **2. Cazul Latură-Unghi-Latură (LUL)**
Dacă două laturi și unghiul **cuprins între ele** sunt **congruente** cu cele ale altui triunghi, atunci triunghiurile sunt **congruente**.

$$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C' \quad \text{dacă} \quad AB = A'B', \quad AC = A'C', \quad \angle A = \angle A'$$

---

### **3. Cazul Unghi-Latură-Unghi (ULU)**
Dacă un triunghi are **două unghiuri** și **latura dintre ele** congruente cu cele ale altui triunghi, atunci triunghiurile sunt **congruente**.

$$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C' \quad \text{dacă} \quad \angle A = \angle A', \quad \angle B = \angle B', \quad AB = A'B'$$

### **Problema 1: Congruența prin Latură-Latură-Latură (LLL)**  

**Enunț:**  
Se dau două triunghiuri $\triangle ABC$ și $\triangle A'B'C'$ cu următoarele lungimi:  

$$AB = A'B' = 6 \text{ cm}, \quad BC = B'C' = 8 \text{ cm}, \quad AC = A'C' = 10 \text{ cm}.$$
Demonstrați că triunghiurile sunt congruente.  

**Rezolvare:**  
Observăm că cele **trei laturi** sunt egale:  

$$AB = A'B', \quad BC = B'C', \quad AC = A'C'.$$
Conform criteriului **LLL (Latură-Latură-Latură)**, triunghiurile sunt **congruente**:  
$$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'.$$
✅ **Răspuns final:** Triunghiurile sunt congruente prin criteriul **LLL**.

---

### **Problema 2: Congruența prin Latură-Unghi-Latură (LUL)**  

**Enunț:**  
Se dau triunghiurile $\triangle ABC$ și $\triangle DEF$, unde:  

$$AB = DE = 5 \text{ cm}, \quad AC = DF = 7 \text{ cm}, \quad \angle A = \angle D = 60^\circ.$$
Demonstrați că triunghiurile sunt congruente.  

**Rezolvare:**  
Observăm că două laturi și **unghiul cuprins între ele** sunt egale:  

$$AB = DE, \quad AC = DF, \quad \angle A = \angle D.$$
Conform criteriului **LUL (Latură-Unghi-Latură)**, triunghiurile sunt **congruente**:  
$$\triangle ABC \cong \triangle DEF.$$
✅ **Răspuns final:** Triunghiurile sunt congruente prin criteriul **LUL**.

---

### **Problema 3: Congruența prin Unghi-Latură-Unghi (ULU)**  

**Enunț:**  
În triunghiurile $\triangle XYZ$ și $\triangle PQR$, se cunosc:  

$$\angle X = \angle P = 45^\circ, \quad \angle Y = \angle Q = 75^\circ, \quad XY = PQ = 6 \text{ cm}.$$
Demonstrați că triunghiurile sunt congruente.  

**Rezolvare:**  
Observăm că avem două **unghiuri egale** și **latura dintre ele** egală:  

$$\angle X = \angle P, \quad \angle Y = \angle Q, \quad XY = PQ.$$
Conform criteriului **ULU (Unghi-Latură-Unghi)**, triunghiurile sunt **congruente**:  
$$\triangle XYZ \cong \triangle PQR.$$
✅ **Răspuns final:** Triunghiurile sunt congruente prin criteriul **ULU**.