Partea întreagă și partea fracționară a unui numar real

Definitie. Fie $x\in \mathbb{R}$. Cel mai mare numar intreg mai mic sau egal decat x se numate partea intreaga a lui x.

Se noteaza: [x] =max{$p\in \mathbb{Z}|p\le x$}.

Numarul real {x}=x-[x] se numeste partea functionara a lui x.

Proprietati:

a) partea intreaga

1.[x]$\le x<[x]+1,\forall x\in \mathbb{R};$

2.$x-1<[x]\le x,\forall x\in \mathbb{R};$

3.$[x]=x\Leftrightarrow x\in \mathbb{Z};$

4.$]x+n]=[x]+n\Leftrightarrow n\in \mathbb{Z};$

b) partea fractionara

1.{$x\}\in [0,1),\forall x\in \mathbb{R};$

2.$\{x\}=0\Leftrightarrow x\in \mathbb{Z};$

3.$\{x\}=\{y\}\Leftrightarrow x-y\in \mathbb{Z},$

4.$\{x+n\}=\{x\}\Leftrightarrow n\in \mathbb{Z}.$

Identitatea lui Hermite:

$[x]+[x+\frac{1}{n}]+[x+\frac{2}{n}]+...+[x+\frac{n-1}{n}]=[nx],\forall x\in \mathbb{R},\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\backslash \{1\}.$