Partea întreagă și partea fracționară a unui numar real

Definitie. Fie \(x\in \mathbb{R}\). Cel mai mare numar intreg mai mic sau egal decat x se numate partea intreaga a lui x.

Se noteaza: [x] =max{\(p\in \mathbb{Z}|p\le x\)}.

Numarul real {x}=x-[x] se numeste partea functionara a lui x.

Proprietati:

a) partea intreaga

1.[x]\(\le x<[x]+1,\forall x\in \mathbb{R};\)

2.\(x-1<[x]\le x,\forall x\in \mathbb{R};\)

3.\([x]=x\Leftrightarrow x\in \mathbb{Z};\)

4.\(]x+n]=[x]+n\Leftrightarrow n\in \mathbb{Z};\)

b) partea fractionara

1.{\(x\}\in [0,1),\forall x\in \mathbb{R};\)

2.\(\{x\}=0\Leftrightarrow x\in \mathbb{Z};\)

3.\(\{x\}=\{y\}\Leftrightarrow x-y\in \mathbb{Z},\)

4.\(\{x+n\}=\{x\}\Leftrightarrow n\in \mathbb{Z}.\)

Identitatea lui Hermite:

\([x]+[x+\frac{1}{n}]+[x+\frac{2}{n}]+...+[x+\frac{n-1}{n}]=[nx],\forall x\in \mathbb{R},\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\backslash \{1\}.\)