Întrebare Parametru

Sa se determine parametrul real m stiind ca multimea valorilor functiei f:R->R f_(x)=(x²+mx+1)/(x² -x+1)
Este un interval de lungime 4..

Multumesc mult!

Prima data aflam imaginea functiei. Cautam acele \(y\in \mathbb{R}\) pentru care exista \(x\in \mathbb{R}\), astfel incat \(\frac{x^{2}+mx+1}{x^{2}-x+1}=y\)

\( \Leftrightarrow x^{2}+mx+1=yx^{2}-yx+y\Leftrightarrow \left ( y-1 \right )x^{2}-\left ( y+m \right )x+y-1=0\). Ca sa existe asemenea \(x\)-uri, discriminantul ecuatiei trebuie sa fie pozitiv sau zero.

\(\Delta =\left ( y+m \right )^{2}-4\left ( y-1 \right )^{2}\geq 0\).

\(\left ( y+m \right )^{2}-4\left ( y-1 \right )^{2}\geq 0=\left [ y+m-2\left ( y-1 \right ) \right ]\cdot \left [ y+m+2\left ( y-1 \right ) \right ]=\)

\(=\left ( -y+m+1 \right )\left ( 3y+m-2 \right )\).

Atunci \(\left ( -y+m+1 \right )\left ( 3y+m-2 \right )\geq 0\)\(\Rightarrow \)

\(y\in \left [ \frac{2-m}{3};m+2 \right ]\) sau \( y\in \left [ m+2;\frac{2-m}{3} \right ]\).

Lungimea intervalului este \(4\), deci \(|m+2-\frac{2-m}{3}|=4\Leftrightarrow |\frac{4m+4}{3}|=4\),
de unde \(m\in \left \{ -4;2 \right \}\).

Observatie: Imaginea functiei in cele doua cazuri (pentru \(m=-4\) si \(m=2\)) le puteti vedea aici si, respectiv, aici .