Întrebare Varianta

Buna ziua!

Va rog sa imi explicati cum se rezolva subpunctul c) de la urmatorul exercitiu.

Multumesc frumos!

Buna seara,

Folositi legea contrapozitiei: daca \(p\) si \(q\) sunt predicate, atunci: \(p\rightarrow q\leftrightarrow \overline{q}\rightarrow \overline{p}\).

Adica: in loc sa demonstrati ca matricea \(xA+yA^{t}\), \(x,y\in \mathbb{C}\) este inversabila \(\Rightarrow x+y\neq 0\), demonstrati ca: \(x+y=0,\: x,y\in \mathbb{C}\Rightarrow \) matricea \(xA+yA^{t}\) nu este inversabila (adica determinantul ei este nul).

\(x+y=0\Rightarrow y=-x\Rightarrow xA+yA^{t}=xA-xA^{t}=x\left ( A-A^{t} \right )\).

\(\left ( A-A^{t} \right )^{t}=A^{t}-A=-\left ( A-A^{t} \right )\).

\(det\left ( A-A^{t} \right )=det\left ( A-A^{t} \right )^{t}=det\left [ -\left ( A-A^{t}\right ) \right ]= (-1)^{3}\cdot det\left ( A-A^{t} \right )=\)
\(=-det\left ( A-A^{t} \right )\), de unde \(2det\left ( A-A^{t} \right )=0\Rightarrow det\left ( A-A^{t} \right )=0\).

Deci \(det\left ( xA+yA^{t} \right )=det\left [ x\left ( A-A^{t} \right ) \right ]=x^{3}\cdot det\left ( A-A^{t} \right )=0\).