Varianta 9
Prof. Badea Ion
- Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
- La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Arătaţi că numărul N=√5−2√6+√(1−√2)2+1−√3este natural.
(5p) 2. Fie f:R→R,f(x)=x2+mx+3,m∈R.Determinaţi valorile parametrului real m astfel încât Gf⋂Ox≠Φ.
(5p) 3. Aflaţi valorile reale ale lui x astfel ăncât numerele 3x+1,9x,5⋅3x−6sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.
(5p) 4. Determinaţi probabilitatea ca alegând un număr din mulţimea {Ck11|k∈N,0≤k≤11}acesta să fie divizibil cu 11.
(5p) 5. Care sunt coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC unde A(3,0), B(2,2) si C(-1,-2)?
(5p) 6. Fie vectorii →u=(m2−1)→i+2→j i →v=m→i+→j;m∈R. Aflaţi valorile parametrului real m astfel încât vectorii →u i →vsunt coliniari.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. În mulţimea M2(R) se consideră matricele A=(12−13) i I2=(1001).
(5p) a) Calculaţi det, {{A}^{2}}\text{ i }{{A}^{3}};
(5p) b) Verificaţi egalitatea {{A}^{2}}=4A-5{{I}_{2}} si demonstraţi că{{A}^{n+1}}=4{{A}^{n}}-5{{A}^{n-1}},\text{ }\left( \forall \right)n\in \mathbb{N},n\ge 2 ;
(5p) c) Arătaţi că {{A}^{n}}\ne {{I}_{2}},\text{ }\left( \forall \right)n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.
2. Se consideră polinoamele f={{X}^{8}}+{{X}^{4}}+1\text{ i }g={{X}^{2}}+X+1, iar {{x}_{1}}\text{ i }{{x}_{2}}\in \mathbb{C}rădăcinile polinomului g.
(5p) a) Aflaţi restul împărţirii lui f la g\grave{\ }={{X}^{2}}\cdot g\text{ };
(5p) b) Calculaţi {{x}_{1}}^{\text{2}}\text{+}{{x}_{2}}^{\text{2}}\text{ i }{{x}_{1}}^{\text{3}}\text{+}{{x}_{2}}^{\text{3}};
(5p) c) Arătaţi că f\left( {{x}_{1}}^{2} \right)+f\left( {{x}_{2}}^{2} \right)\in \mathbb{N}.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie funcţia f:\left[ -3,\infty \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)=\frac{\sqrt{3+x}-2}{x-1}.
(5p) a) Calculaţi \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\text{ i }\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right);
(5p) b) Demonstraţi relaţia {{f}^{2}}\left( x \right)=-2{{f}^{'}}\left( x \right)\cdot \sqrt{3+x}\left( \forall \right)x\in \left( -3,\infty \right)\backslash \left\{ 1 \right\}si stabiliţi monotonia funcţiei f
(5p) c) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă {{x}_{0}}=-2.
2. Se consideră funcţiile f,F:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)=\cos x-\sin x\cdot {{e}^{\cos x}}-1\text{ i }F\left( x \right)={{e}^{\cos x}}+\sin x-x+1.
(5p) a) Să se arate că funcţia F este o primitivă a funcţiei f ;
(5p) b) Să se calculeze \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx};
(5p) c) Să se calculeze aria suprafeţei plane mărginite de graficul funcţiei g:\left[ 0,\frac{\pi }{4} \right]\to \mathbb{R}, \text{ g}\left( x \right)=\frac{f\left( x \right)-\cos x+1}{\left( {{\sin }^{2}}x-1 \right){{e}^{\cos x}}}, axa Ox si dreptele de ecuaţii x=0\text{ i }x=\frac{\pi }{4}.