Varianta 10

Prof: Bășcău Cornelia

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculați $\lg {{10}^{6}}+\sqrt{{{10}^{6}}}+\sqrt[3]{{{10}^{6}}}$.

(5p) 2. Aflați punctele de intersecție ale graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)={{x}^{2}}-3x-10$ cu  axa abciselor.

(5p) 3. Rezolvați, în mulțimea numerelor naturale nenule, ecuația: $\log _{27}^{2}{{x}^{3}}+9{{\log }_{27}}x=4$.

(5p) 4. Aflați termenul care nu îl conține pe x  în dezvoltarea binomială: ${{\left( 3x+\frac{1}{\sqrt{x}} \right)}^{9}}$.

(5p) 5. Fie triunghiul ABC și vectorii:$\overrightarrow{\text{OA}}\text{ =2\vec{i}}\text{,}\overrightarrow{\text{OB}}\text{=4\vec{i} +2\vec{j} }\text{,}\overrightarrow{\text{OC}}\text{=6\vec{i} - 4\vec{j} }\text{.}$ .Să se determine cordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC.

(5p) 6. Comparați numerele $\sin 6$ și $\sin 7$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to {{M}_{2}}(\mathbb{R}),f(x)=\left( \begin{matrix}x & 0  \\ 0 & x  \\ \end{matrix} \right)$

 (5p) a)  Să se arate că f (-1) +  f (1) = 0₂.

 (5p) b)  Să se rezolve ecuația f (2x) = I₂.

 (5p) c)  Sa se calculeze  $\text{f(2)+(f(2)}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{+}...\text{+(f(2)}{{\text{)}}^{\text{2014}}}$.

2. Se consideră mulțimea claselor de resturi modulo 9, ${{\mathbb{Z}}_{\text{9}}}$

(5p) a) Calculați produsul elementelor inversabile din această mulțime.

(5p) b) Calculați, in ${{\mathbb{Z}}_{\text{9}}}$,  suma $\hat{1}+\hat{2}+...+\widehat{2014}$ .

(5p) c) Rezolvati, in ${{\mathbb{Z}}_{\text{9}}}$, sistemul de ecuații: $\left\{ \begin{align} & \hat{3}x+\hat{2}y=\hat{0} \\ & \hat{4}x+\hat{5}y=\hat{1} \\ \end{align} \right.$

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},~f\left( x \right)={{x}^{2014}}+{{2014}^{x}}-\ln 2014$.

(5p) a)  Să se  calculeze${f}'\left( x \right),~\forall x\in ~\mathbb{R}$.

(5p) b)  Să se scrie ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abcisă 0.

(5p) c)  Să se arate că funcția f este convexă pe $\mathbb{R}$.

2.  Se consideră funcția $f:\left[ 1,\infty ) \right.\to \mathbb{R},~f\left( x \right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}$.

 (5p) a) Să se calculeze $\underset{2}{\overset{4}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx$

 (5p) b) Să se arate că orice primitivă F a funcției  f  este concavă pe $[1,\infty )$.

(5p) c) Să se  afle volumul corpului mărginit de graficul funcției f, axa Ox si dreptele de ecuație x = 1 și  x = 2.