Varianta 10

Prof: Bășcău Cornelia

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculați \(\lg {{10}^{6}}+\sqrt{{{10}^{6}}}+\sqrt[3]{{{10}^{6}}}\).

(5p) 2. Aflați punctele de intersecție ale graficului funcției \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)={{x}^{2}}-3x-10\) cu  axa abciselor.

(5p) 3. Rezolvați, în mulțimea numerelor naturale nenule, ecuația: \(\log _{27}^{2}{{x}^{3}}+9{{\log }_{27}}x=4\).

(5p) 4. Aflați termenul care nu îl conține pe x  în dezvoltarea binomială: \({{\left( 3x+\frac{1}{\sqrt{x}} \right)}^{9}}\).

(5p) 5. Fie triunghiul ABC și vectorii:\(\overrightarrow{\text{OA}}\text{ =2\vec{i}}\text{,}\overrightarrow{\text{OB}}\text{=4\vec{i} +2\vec{j} }\text{,}\overrightarrow{\text{OC}}\text{=6\vec{i} - 4\vec{j} }\text{.}\) .Să se determine cordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC.

(5p) 6. Comparați numerele \(\sin 6\) și \(\sin 7\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to {{M}_{2}}(\mathbb{R}),f(x)=\left( \begin{matrix}x & 0  \\ 0 & x  \\ \end{matrix} \right)\)

 (5p) a)  Să se arate că f (-1) +  f (1) = 0₂.

 (5p) b)  Să se rezolve ecuația f (2x) = I₂.

 (5p) c)  Sa se calculeze  \(\text{f(2)+(f(2)}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{+}...\text{+(f(2)}{{\text{)}}^{\text{2014}}}\).

2. Se consideră mulțimea claselor de resturi modulo 9, \({{\mathbb{Z}}_{\text{9}}}\)

(5p) a) Calculați produsul elementelor inversabile din această mulțime.

(5p) b) Calculați, in \({{\mathbb{Z}}_{\text{9}}}\),  suma \(\hat{1}+\hat{2}+...+\widehat{2014}\) .

(5p) c) Rezolvati, in \({{\mathbb{Z}}_{\text{9}}}\), sistemul de ecuații: \(\left\{ \begin{align} & \hat{3}x+\hat{2}y=\hat{0} \\ & \hat{4}x+\hat{5}y=\hat{1} \\ \end{align} \right.\)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},~f\left( x \right)={{x}^{2014}}+{{2014}^{x}}-\ln 2014\).

(5p) a)  Să se  calculeze\({f}'\left( x \right),~\forall x\in ~\mathbb{R}\).

(5p) b)  Să se scrie ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abcisă 0.

(5p) c)  Să se arate că funcția f este convexă pe \(\mathbb{R}\).

2.  Se consideră funcția \(f:\left[ 1,\infty ) \right.\to \mathbb{R},~f\left( x \right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}\).

 (5p) a) Să se calculeze \(\underset{2}{\overset{4}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx\)

 (5p) b) Să se arate că orice primitivă F a funcției  f  este concavă pe \([1,\infty )\).

(5p) c) Să se  afle volumul corpului mărginit de graficul funcției f, axa Ox si dreptele de ecuație x = 1 și  x = 2.